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Sur l’intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré. (French) JFM 23.0319.01

C. R. 112, 761-764 (1891); Palermo Rend. 5, 161-191 (1891).
Die Differentialgleichung erster Ordnung und ersten Grades wird nach dem Vorgange des Herrn Darboux auf die homogene Form \[ (1)\quad (yN-zM)dx+(zL-xN)dy+(xM-yL)dz=0 \] gebracht, wo \(L,M,N\) ganze homogene Polynome in \(x,y,z\) vom Grade \(m\) bezeichnen; \(m\) heist die Dimension der Gleichung. Wenn das Integral algebraisch ist, so hat sie die Form \(f+C\varphi=0\), wo \(C\) eine willkürliche Constante und \(f\) und \(\varphi\) homogene Polynome von der Ordnung \(p\) in \(x,y,z\) sind. Es wird vorausgesetzt, dass diese Form die einfachste ist; es ist dann die Zahl der “merkwürdigen” Werte von \(C\), d. h. derjenigen, für die \(f+C\varphi\) reductibel wird, endlich. Die singulären Punkte der Gleichung (1) sind durch die Gleichungen \[ \frac Lx=\frac My=\frac Nz \] gegeben; ihre Zahl ist \(m^2+m+1\). Sie werden alle verschieden vorausgesetzt. In der Umgebung eines singulären Punktes \(x_0,y_0,z_0\) kann das Integral auf die Form \[ X_1^{-S_1}X_2^{S_2}=\text{const}. \] gebracht werden, wo \(X_1,X_2\) Reihen sind, geordnet nach wachsenden Potenzen von \(\frac{x}{x_0}-\frac{z}{z_0},\frac{y}{y_0}-\frac{z}{z_0}\). Diese Form ist eine notwendige Bedingung dafür, dass die Gleichung (1) algebraisch integrirbar sei; ferner muss für alle singulären Punkte ihr “Exponent” \(S_1:S_2\) reell und commensurabel sein. Die Punkte, für welche dieser Exponent positiv ist, heissen “noeuds”; die, für welche er negativ ist, “cols”. Wenn für gewisse Punkte der Exponent 1 ist, dann hat das Integral im allgemeinen die Form \[ \frac{X_1}{X_2}+A\log X_1=\text{const}. \] Soll es algebraisch sein, so muss \(A=0\) sein; der Punkt heisst dann “dicritique”. Sind alle singulären Punkte letzterer Art, und hat in einem solchen Punkte \(f+C\varphi=0\;\lambda\) verschiedene Zweige, so gelten die Formeln \[ p^2=\varSigma\lambda^2,\quad (m+2)p=2\varSigma\lambda, \] wo die Summationen sich über alle singulären Punkte erstrecken. Für das Geschlecht \(q\) der Integralcurve findet man \[ q=\tfrac 14(m-4)p+1. \] Im Falle, wo alle singulären Punkte “noeuds”, aber nicht sämtlich “dicritiques” sind, habe der Exponent des Punktes, auf die kleinste Benennung gebracht, die Form \(\mu:\nu\). Es gelten dann die Formeln \[ p^2=\varSigma\lambda^2\mu\nu\quad\text{und}(m+2)n=\varSigma\lambda(\mu+\nu) \] und für das Geschlecht \(q\): \[ q=1+\varSigma\,\tfrac \lambda 2\left[(\mu+\nu)\frac{m-1}{m+2}-1\right]. \] Die Formeln für das Geschlecht enthalten die Lösung des von Herrn Painlevé gestellten Problems, “zu erkennen, ob das allgemeine Integral eine algebraische Curve von gegebenem Geschlechte ist”, allemal, wo die Dimension \(m\) der Differentialgleichung grösser als 4 ist.
Was den Hauptzweck der vorliegenden Arbeit betrifft, nämlich die Bestimmung einer oberen Grenze für den Grad \(p\) der Integralgruppe, so wird sie in dem besonderen Falle, dass für alle “cols” der Exponent gleich \(-1\) ist, durch die Formel \[ m+2=p\left(\frac{1}{\alpha_1}+\frac{1}{\alpha_2}\right), \] wo \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) relative Primzahlen sind, vollständig gelöst. In diesem Falle ist es daher möglich, zu entscheiden, ob die Gleichung (1) algebraisch integrirbar ist. Für die grosse Zahl einzelner wichtiger Bemerkungen, die diese Arbeit noch enthält, müssen wir auf das Original verweisen.

MSC:

34C05 Topological structure of integral curves, singular points, limit cycles of ordinary differential equations
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