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Ueber eine Normalform gewisser Differentialgleichungen zweiter und dritten Ordnung. (German) JFM 23.0339.01

Zunächst wird für die Differentialgleichung dritter Ordnung, welche die Verallgemeinerung der Schwarz’schen \(s\)-Functionen auf den Fall beliebig vieler singulären Punkte bildet, eine Normalform aufgestellt. Die Differentialgleichung lautet: \[ (1)\quad \frac{u'''}{u'}-\tfrac 32\left(\frac{u''}{u'}\right)^2=R(x)=\sum_{i=1}^{i=n}\frac{(1-\lambda_i)^2}{2(x-a_i)^2}+\frac{\varphi(x)}{f(x)}, \] wo \(a_1,\dots,a_n\) ihre singulären Punkte, \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) die zugehörigen Exponenten sind, \(f(x)=\prod_{i=1}^{i=n}(x-a_i)\) und \(\varphi(x)\) ein ganzes Polynom bedeutet, das der Bedingung unterworfen ist, dass \(R(x)\) für \(x=\infty\) von der vierten Ordnung verschwindet. Ist eine specielle Function \(R(x)=H(x)\) gewählt, so erhält man die allgemeinste zu denselben Verzweigungswerten und Exponenten gehörige Function \(R(x)\) durch Hinzufügung eines Bruches von der Form \[ \frac{c_0+c_1x+\cdots+c_{n-4}x^{n-4}}{f(x)}\,. \] Für die Normalform wählt nun der Verfasser \[ H(x)=\sum_{i=1}^{i=n}\;\frac{1-\lambda_i^2}{2}\;\frac{1}{(x-a_i)^2}-\sum_{i,k}\;\frac{N_{ik}}{(x-a_i)(x-a_k)}, \] letztere Summe über alle Combinationen verschiedener \(i,k\) aus der Zahlenreihe \(1,\dots,n\) ersteckt. Hierin ist \[ N_{i,k}=\frac{1}{(n-1)(n-2)}\{\sigma^2-[2(n-2)-(n-1)(\lambda_i+\lambda_k)]\sigma +(n-1)(n-2)(1-\lambda_i)(1-\lambda_k)\}, \] wo \(\sum_{i=1}^{i=n}(1-\lambda_i)-2=\sigma\) gesetzt ist.
Von der Gleichung (1) geht man in bekannter Weise zur linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung über, welche die Verallgemeinerung der Gauss’schen bildet, und leitet die Normalform für diese aus der obigen ab.

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