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Sur les points singuliers des équations différentielles à deux variables du premier ordre et du premier degré. (French) JFM 23.0341.01

Die Differentialgleichung wird durch Einführung einer dritten Variable homogen gemacht und in der Form \[ (1)\quad L(ydz-zdy)+M(zdx-xdz)+N(xdy-ydx)=0 \] betrachtet, wo \(L,M,N\) ganze algebraische homogene Functionen von dem nämlichen Grad \(k\) bezeichnen. Die singulären Punkte von (1) sind durch die Gleichungen \[ \frac Lx=\frac My=\frac Nz \] gegeben. Ihre Zahl ist, wie Herr Darboux gezeigt hat, \(k^2+k+1\). Für diesen Satz giebt der Verfasser einen neuen, sehr einfachen Beweis, woran u. a. folgende Bemerkungen geknüpft werden. Ist \(k=2\), so ist durch die singulären Punkte das System der Integralcurven vollständig bestimmt. Man erhält nämlich die Tangente in einem beliebigen Punkte \(M\) an die durch ihn hindurchgehende Integralcurve, indem man diesen Punkt mit dem neunten Punkte verbindet, welchen der durch \(M\) und die sieben singulären Punkte festgelegte Büschel von Curven dritter Ordnung noch ausser diesen gemein hat. Wenn ferner mehr als \(mk+n\) Punkte existiren, in welchen die hindurchgehenden Integralcurven von (1) eine algebraische Curve \(m^{\text{ter}}\) Ordnung und \(n^{\text{ter}}\) Klasse berühren, so stellt diese Curve ein particuläres Integral von (1) dar.
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Full Text: DOI Numdam EuDML