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Ueber die sogenannten vollständigen Systeme von homogenen linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. (German) JFM 23.0388.01
Der Verfasser sucht, ohne auf die eigentlichen Integrationsmethoden einzugehen, auf directem Wege die analytische Natur der Lösungen der im Titel genannten Differentialgleichungen zu geben. Ausgehend von dem System: \[ \frac{\partial z}{\partial x_{\mathfrak a}}-\sum_{{\mathfrak b}=q+1}^n\zeta_{\mathfrak b}^{\mathfrak a}(x)\;\frac{\partial z}{\partial x_{\mathfrak b}}\equiv Z_{\mathfrak a}z=0\qquad ({\mathfrak a}=1,2,\dots,q), \] in welchem die Functionen \(\zeta\) als gewöhnliche Potenzreihen der Variabeln \(x_1,\dots,x_n\) zu betrachten sind, und welches ein vollständiges System ist, wenn die Bedingungen: \[ (Z_{\mathfrak a}Z_{\mathfrak b})\equiv Z_{\mathfrak a}(Z_{\mathfrak b}z)-Z_{\mathfrak b}(Z_{\mathfrak a}z)=0 \] erfüllt sind, wird durch Coefficientenbestimmung gezeigt, dass diesem Systeme durch eine gewöhnliche Potenzreihe \(z=f(x_1,\dots,x_n)\) genügt wird, welche für \(x_1=x_2=\cdots=x_q=0\) einer beliebig vorgelegten Reihe \(\varphi(x_{q+1},\dots,x_n)\) gleich wird. Die wirkliche Herstellung der Lösungen wird auf diesem Wege wohl nur selten möglich sein; deshalb sucht der Verfasser schliesslich die Integration mit Hülfe eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen auf ihren wahren Grund zurückzuführen, der darin liegt, dass mit einem solchen Systeme stets mindestens eine Transformationsgruppe verknüpft ist. So ergiebt sich: Um das vollständige System \(Z_{\mathfrak a}\) zu integriren, integrire man das System gewöhnlicher Differentialgleichungen: \[ \frac{dx_1'}{dt}=-a_1,\dots,\frac{dx_q'}{dt}=-a_q,\quad \frac{dx_{\mathfrak a}'}{dt}=\sum_{{\mathfrak b}=1}^q\zeta_{\mathfrak a}^{\mathfrak b}(x')a_{\mathfrak b} \] \[ ({\mathfrak a}=q+1,\dots,n) \] unter der Bedingung, dass \(x_{\mathfrak a}'\) in \(x_{\mathfrak a}\) übergehe für \(t=0\); sind \[ \begin{aligned} & x_1'=x_1-a_1t,\dots,x_q'=x_q-a_qt, \\ & x_{\mathfrak a}'=f_{\mathfrak a}(x_1,\dots,x_n;\;a_1t,\dots,a_qt) \end{aligned} \] die so gewonnenen Functionen, so sind \[ Z_{\mathfrak a}=f_{\mathfrak a}(x_1,\dots,x_n;\;x_1,\dots,x_q)\quad ({\mathfrak a}=q+1,\dots,n) \] solche Lösungen des vollständigen Systems, welche für \[ x_1=x_2=\cdots=x_q=0 \] in resp. \(x_{\mathfrak a}\) übergehen und bei allen Transformationen \[ x_1'=x_1-u_1,\dots,x_q'=x_q-u_q,\;x_{\mathfrak a}'=f_{\mathfrak a}(x;\;u) \] ihre Form behalten.
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Full Text: Crelle EuDML