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On a generalization of the equations of the theory of functions of a complex variable. (Sur une généralisation des équations de la théorie des fonctions d’une variable complexe.) (French) JFM 23.0411.01
Die Theorie der Functionen einer complexen Variable kommt bekanntlich zurück auf die Theorie zweier reellen Functionen \(P,Q\) von zwei reellen Variabeln \(x,y\), welche den Gleichungen \[ (1)\quad \frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial y},\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x} \] genügen. Diese Gleichungen haben die Eigenschaft, dass sie gültig bleiben, wenn man \(x,y\) resp. durch \(P_1,Q_1\) ersetzt, wo \(P_1,Q_1\) irgend zwei die Gleichungen befriedigende Functionen von \(x,y\) bedeuten. Der Verfasser stellt sich nun die Aufgabe, alle Systeme von zwei Differentialgleichungen \[ (2)\quad \left\{ \begin{aligned} & f\left(\frac{\partial P}{\partial x}\,,\;\frac{\partial P}{\partial y}\,,\;\frac{\partial Q}{\partial x}\,,\;\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=0,\\ & \varphi\left(\frac{\partial P}{\partial x}\,,\;\frac{\partial P}{\partial y}\,,\;\frac{\partial Q}{\partial x}\,,\;\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=0\end{aligned}\right. \] zu bestimmen, welche die erwähnte Eigenschaft der Gleichungen (1) besitzen. Es zeigt sich, dass die Bestimmung dieser Systeme von Gleichungen auf die Bestimmung der continuirlichen Gruppen von linearen Substitutionen bei zwei Variabeln und zwei Parametern zurückkommt und also auf Grund der Untersuchungen von Lie leicht ausgeführt werden kann.
Stellt man bei \(n\) Functionen von \(n\) Variabeln und \(n+p\) Relationen zwischen den ersten partiellen Differentialquotienten der Functionen die entsprechende Aufgabe, so führt dieselbe auf die linearen continuirlichen Gruppen mit \(n^2-n-p\) Parametern. Der Verfasser behält sich eine ausführlichere Entwickelung der hier angedeuteten Ideen vor.

MSC:
35A99 General topics in partial differential equations
30A99 General properties of functions of one complex variable
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