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The expansion of the quotient of two holomorphic functions: the theory of recurrent series. (Développement du quotient de deux fonctions holomorphes, théorie des séries récurrentes.) (French) JFM 23.0414.02
Entwickelt man den Quotienten zweier Potenzreihen \(\frac{{\mathfrak P}_0(x)}{{\mathfrak B}(x)}\) in eine Potenzreihe \({\mathfrak P_1}(x)\), so sind die Coefficienten von \({\mathfrak P_1}(x)\) rationale Functionen der Coefficienten der beiden Reihen \({\mathfrak P_0}(x)\) und \({\mathfrak P}(x)\). Es handelt sich darum, diese Functionen allgemein anzugeben. Die Aufgabe lässt sich, wie leicht zu sehen, auf den Fall zurückführen, wo \({\mathfrak P_0}(x)=1\) ist und \({\mathfrak P}(x)\) für \(x=0\) den Wert 1 annimmt, wo also der Quotient \[ \frac{1}{1+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+\cdots} \] in der Form \(1+l_1x+l_2x^2+l_3x^3+\cdots\) entwickelt werden soll. Der Verfasser zeigt nun, dass \(l_p\) sich aus allen Termen vom Gewichte \(p\) zusammensetzt, die sich aus den Coefficienten \(b\) bilden lassen, dass diese Terme positiv oder negativ auftreten, je nachdem die Zahl ihrer Factoren gerade oder ungerade ist, dass endlich der Zahlenfactor jedes Termes der Polynomialcoefficient ist, welcher dem Terme in Rücksicht auf die Zahl der Factoren und auf ihre Exponenten zukommt. Z. B. ist \(l_3=-b_3+2b_2b_1-b_1^3\). Im Anschluss hieran giebt der Verfasser die bekannten Sätze, nach denen jede rationale Function von \(x\) sich in eine recurrente Reihe entwickelt und umgekehrt jede recurrente convergirende Potenzreihe eine rationale Function darstellt.
MSC:
30B10 Power series (including lacunary series) in one complex variable
Subjects:
Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.
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Full Text: DOI Numdam EuDML