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On periodic functions of two variables. (Sur les fonctions périodiques de deux variables.) (French) JFM 23.0430.01
Die Frage, ob jede Function von \(n\) Variabeln mit \(n\) Gruppen von Perioden, die sich im Endlichen überall wie eine rationale Function verhält, sich mit Hülfe der Thetafunctionen von \(n\) Variabeln ausdrücken lasse, scheint auf den ersten Blick verneint werden zu müssen; denn die Perioden der letzteren sind durch \(\frac 12n(n-1)\) bekannte Relationen verbunden. Indessen haben sowohl Riemann als Hr. Weierstrass gefunden, dass diese Relationen bei jeder mehrfach periodischen Function der genannten Art erfüllt sind. Und die Herren Picard und Poicaré haben diesen Satz bewiesen (C. R. XCVII, F. d. M. XV. 1883. 365, JFM 15.0365.01). Der Verfasser greift die Frage für \(n=2\) direct an, indem er sich auf den Satz des Herrn Poincaré stützt, dass eine Function von zwei Variabeln, die im Endlichen überall den Charakter einer rationalen Function besitzt, als Quotient zweier beständig convergenten Potenzreihen dargestellt werden kann. [Der Beweis dieses Satzes (Acta Math. II; F. d. M. XV. 1883. 358, JFM 15.0358.01) ist allerdings nicht in allen Details durchgeführt; Hr. Weierstrasshat noch 1887 (Abh. a. d. Functionenlehre S. 137) seinen Ausspruch wiederabdrucken lassen, dass die Frage unerledigt sei und sehr erhebliche Schwierigkeiten darzubieten scheine. Erneute Prüfung der Sache wäre wünschenswert.]
Im 1. Capitel wird auf Grund des von Hrn. Guichard (Ann. de l’Éc. Norm. (3) IV; F. d. M. XIX. 1887. 344, JFM 19.0344.01) bewiesenen entsprechenden Satzes für eine Variable gezeigt: Sind zwei ganze Functionen \(H(x,y)\), \(K(x,y)\) von zwei unabhängigen Veränderlichen gegeben, welche die Identität erfüllen: \[ H(x,y+1)-H(x,y)=K(x+1,y)-K(x,y), \] so existirt eine dritte ganze Function \(G(x,y)\), welche die beiden Gleichungen befriedigt: \[ G(x+1,y)-G(x,y)=H(x,y);\quad G(x,y+1)-G(x,y)=K(x,y). \] Das 2. Capitel bringt eine neue Entwickelung der Darstellung doppelt periodischer Functionen einer Variable durch Thetafunctionen; im dritten wird die betreffende Methode auf vierfach periodische Functionen von zwei Variabeln ausgedehnt. Den Schluss bilden Bemerkungen über zweifach periodische Functionen von zwei Variabeln.

MSC:
11F99 Discontinuous groups and automorphic forms
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