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Sur les fonctions sphériques. (French) JFM 23.0507.02

Der Verfasser reproducirt zunächst verschiedene auf die Kugelfunctionen bezügliche Recursionsformeln und leitet aus denselben durch Differentiation und Combination mehrerer derselben die Gleichung ab: \[ (1)\qquad \frac{d^{\lambda+1}(x^2-1)^{\mu+1}P_n^{(\mu+1)}}{dx^{\lambda+1}}=C(x^2-1)^{\mu-\lambda}P_n^{(\mu-\lambda)}. \] Darin ist \(P_n\) die einfache Kugelfunction, die oberen Indices an \(P_n\) sind Differentiationsindices, und die Constante \(C\) hat den Wert \[ \begin{aligned}(2)\qquad & C=(n-\mu)\dots(n-\mu+\lambda)(n+\mu-\lambda+1)\dots(n+\mu+1) \\ & \qquad (\lambda=0,1,2,\dots,\mu),\quad (\mu=0,1,2,\dots,n-1).\end{aligned} \] Aus Gleichung (1) ergeben sich mehrere Verallgemeinerungen bekannter Formeln, so z. B. für \(\lambda=\mu\) eine Verallgemeinerung der Differentialgleichung der Kugelfunctionen, für \(\lambda=\mu-1\) und durch Anwendung einer Beltrami’schen Formel für \((x^2-1)P'_n\) eine Verallgemeinerung der letzteren. Endlich lassen sich aus (1) auch die Formeln von Rodrigues und Jacobi herleiten.
Weiter wird durch Differentiation der vorher erwähnten Beltrami’schen Formel eine Formel gewonnen, die man als Verallgemeinerung einer Hermite’schen Formel ansehen kann, die aber ohne erhebliches Interesse ist. Die zum Schluss gemachte Bemerkung, dass sich alle für die \(P_n\) abgeleiteten Formeln mittels des Neumann’schen Integralausdrucks auf die \(Q_n\) übertragen lassen, findet sich schon bei Neumann.
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Full Text: DOI Numdam EuDML