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Endlich-gleiche Flächen. (German) JFM 23.0532.01
Zwei Flächenstücke sind nach Bolyai’s Bezeichnung endlich-gleich, wenn sie durch additive Aneinanderreihung paarweise congruenter Flächenstücke entstehen. Hierüber hatte Bolyai folgende Sätze aufgestellt:
1) Zwei geradlinige Polygone von gleichem Flächeninhalt sind endlich-gleich.
2) Die nicht gemeinsamen Teile zweier sich teilweise deckenden congruenten Flächen sind endlich-gleich.
3) Schneidet man aus zwei congruenten Flächen beliebige gegenseitig congruente Stücke heraus, so sind die Reste endlich-gleich.
Herr R. beanstandet die Herleitung des zweiten Satzes und bemüht sich seinerseits, einen unanfechtbaren Beweis zu geben. Nachdem er in §1 den Satz 1 nochmals erwiesen hat, stellt Herr R. den Satz auf: “Zur endlichen Gleichheit zweier flächengleicher ebener Systeme ist es notwendig und hireichend, dass die krummlinigen Bogen ihrer Begrenzungen gegenseitig endlich-gleich und die Krümmungen congruenter Stücke (relativ zum Innern der Fläche) von gleichem Sinne seien, – von Stücken der Begrenzungen abgesehen, die auf demselben System ebenso oft vorkommen mit positivem als mit negativem Krümmungssinn.” Zum Beweise soll für nach aussen convexe gleiche Bogen beider Figuren derselbe eingeschriebene, für gleiche nach innen convexe Bogen derselbe umgeschriebene Polygonzug substituirt werden. Ist dies geschehen, so bleiben allerdings zwei flächengleiche, und deshalb endlich-gleiche Polygone übreig. Allein man braucht nur den Fall zweier von innen einander berührenden Kreisen zu betrachten, um einzusehen, dass solche Polygone von endlicher Seitenzahl keineswegs immer möglich sind.
Im §2 giebt Herr R. eine Verbesserung des Bolyai’schen Verfahrens zur Zerlegung der Restgruppen zweier congruenten Figuren \(A\) und \(B\) mit dem gemeinsamen Flächenstück \(K\) in congruenten Teile. Im gleichen Sinne congruente Flächen gehen durch Drehung um den Winkel \(\varphi\) um einen festen Punkt \(O\) in einander über; sind nun \(A,B\) und \(K\) einfach zusammenhängend, und liegt \(O\) ausserhalb beider, so unterwirft Herr R. das Flächenstück \(K\) den Drehungen \(\varphi, 2\varphi, 3\varphi, \dots\), und \(-\varphi, -2\varphi, -3\varphi, \dots\), bei denen es noch zum Teil auf \(A\) oder \(B\) liegt, und verzeichnet in jeder Lage seine Konturen auf diesen Flächen. Dadurch zerfallen die Restflächen in dieselbe endliche Anzahl flächengleicher Stücke. Dieses Verfahren wird nun auf den Fall mehrfach zusammenhängender Flächen, innere Lage des Drehpunktes, etc., sowie auf entgegengesetzt congruente Figuren ausgedehnt. Die Zurückführung des dritten Satzes auf den zweiten wird gezeigt.

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