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Über das Problem der Nachbargebiete. (German) JFM 23.0543.01
Die Arbeit knüpft an das kürzlich von Kempe und P. J. Heawood behandelte Vierfarbenproblem an [Q. J. Pure Appl. Math. 24, 332–338 (1890; JFM 22.0562.02)]. Mit ihm wesentlich identisch ist das Problem der Nachbargebiete, d. h. solcher Gebiete auf einer Fläche, von denen jedes längs einer Linie an alle anderen grenzt. Die Fläche wird als Oberfläche von beliebigem Zusammenhang vorausgesetzt; es wird für sie der Minimalwert des Geschlechts bestimmt, wenn die Zahl der Nachbargebiete gegeben ist, resp. der Maximalwert der Nachbargebiete, wenn das Geschlecht gegeben ist.
Der Verfasser führt zu diesem Zwecke eine neue, für Oberflächen charakteristische Zahl ein, nämlich die grösste Zahl \(s\) der geschlossenen Curven, die man durch einen Punkt der Fläche so auf ihr ziehen kann, dass keine zwei noch einen weiteren Punkt gemein haben. Sie genügt den Relationen \[ s=z-r+1\quad \text{und} \quad s=2p+1, \] in denen \(z\) die Zusammenhangszahl, \(r\) die Zahl der Randcurven und \(p\) das Geschlecht bedeutet. Es reicht aus, geschlossene Flächen der Betrachtung zu unterwerfen. Ist \(p_n\) das Geschlecht einer Fläche, die \(n\) Nachbargebiete gestattet, so ist stets \[ p_n\geqq\;\frac {(n-3)(n-4)+2\alpha_n} {12}, \] wo \(2\alpha_n\) die kleinste positive ganze Zahl ist, die bewirkt, dass der Zähler durch 12 teilbar wird. Ist \(n\leqq 12\), so gilt in dieser Formel ausschliesslich das Gleichheitszeichen; alsdann ist also der Zusammenhang von \(n\) und \(p\) durch die Gleichung \[ p_n=\frac {(n-3)(n-4)+2\alpha_n} {12} \] bestimmt, womit \(p_n\) durch \(n\) und \(n_p\) durch \(p\) ausdrückbar wird.
Es wird dann noch im besonderen die Frage erörtert, wann auf einer Fläche eine specielle regelmässige Anordnung der Nachbargebiete vorkommen kann, die der Verfasser als cyklisch bezeichnet. Notwendige Bedingung hierfür ist, dass \(n\) die Form \(12k+7\) hat. Für zwei specielle Werte von \(k\) wird die entsprechende cyklische Einteilung der Fläche in Nachbargebiete wirklich ausgeführt.
Das Problem ist auch einer dualen Fassung fähig; dabei handelt es sich um diejenige Zahl von Punkten auf einer Fläche, deren jeder mit allen anderen durch zwei sich nicht schneidende Linien verbunden werden kann.

MSC:
05C15 Coloring of graphs and hypergraphs
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