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Ueber die Einführung der sogenannten idealen Elemente in die projective Geometrie. (German) JFM 23.0638.04

Herr F. Klein hat (in Math. Ann. VI, F. d. M. V. 1873. 272 ff., JFM 05.0271.01) gezeigt, dass die projective Geometrie unabhängig vom Parallelenaxiom begründet werden kann. Eine rein geometrische Entwickelung für diese Thatsache hat zwar bereits Herr Pasch gegeben; allein bei der Wichtgkeit des Gegenstandes ist die neue äusserst einfache Behandlung desselben, die in der vorliegenden Arbeit gegeben wird, von dem grössten Interesse.
Als erreichbar gelten alle Punkte eines begrenzten Gebietes; zwei erreichbare Punkte bestimmen eine erreichbare Gerade, drei eine erreichbare Ebene, in welcher jede Gerade enthalten ist, die zwei erreichbare Punkte derselben enthält. Wird noch vorausgesetzt, dass jede erreichbare Ebene das Gebiet in zwei getrennte Teile zerlegt, so folgt, dass alle Ebenen, die einen erreichbaren Punkt enthalten, sich gegenseitig in erreichbaren Punkt in einer erreichbaren Ebene liegen. Daher lässt sich mit Hülfe des vollständigen Vierkants der Begriff der harmonischen Strahlengruppe und anschliessend der der harmonischen Ebenengruppe einführen.
Bezieht man nun zwei Strahlenbüschel mit den Centren \(S\) und \(S'\) so, dass in jedem erreichbaren Punkte einer Ebene \(\eta\) zusammengehörige Strahlen sich treffen, so kann durch die Bestimmung, dass zu vier harmonischen Strahlen vier harmonische Strahlen gehören sollen, jedem Strahle des einen Bündels ein Strahl des anderen so zugewiesen werden, dass entsprechende Strahlen in einer Ebene liegen. Damit ist gezeigt, dass eine Gerade \(\mathfrak a\) und eine Ebene \(\eta\), oder besser zwei Gerade \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) in einer Ebene, auch wenn sie keinen erreichbaren Punkt gemein haben, einen “Strahlenbündel” bestimmen, eine zweifache Mannigfaltigkeit von Geraden, von denen durch einen Punkt \(S\) je eine geht, und von denen je zwei in einer Ebene liegen; im ersten Falle gehören \(\mathfrak a\) und \(\eta\), im zweiten \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) dem Bündel an. Mit dem so gewonnenen “idealen Punkte” ist zugleich die ideale Gerade gegeben, als einfach unendliche Mannigfaltigkeit idealer Punkte, die einer einfach unendlichen Mannigfaltigkeit erreichbarer Ebenen angehören und durch zwei ideale Punkte oder zwei ereichbare Ebenen gegeben sind.
Da somit in der Ebene ausnahmslos zwei Punkte eine Gerade, zwei Gerade einen Punkt bestimmen, so lässt sich nunmehr der Begriff der harmonischen Punktgruppe aufstellen und zeigen, dass zu einer Strahlengruppe, mag das Centrum “ideal” oder erreichbar sein, entweder nur harmonische Punktgruppen perspectivisch sind oder überhaupt keine. Daraus folgt, dass, sobald man Punkte zweier erreichbaren Ebenen entsprechend nennt, die mit einem idealen Punkte in einer Geraden liegen, drei Punkten in einer geraden Linie drei Punkte in einer geraden Linie entsprechen.
Der Ort der idealen Geraden, welche ein idealer Punkt mit den Punkten einer idealen Geraden bestimmt, kann daher als eine ideale Ebene bezeichnet werden; denn er hat mit jeder erreichbaren Ebene eine Gerade gemein. Es lässt sich zeigen, dass sie mit jeder idealen oder erreichbaren Geraden einen Punkt gemein hat, so dass also nun ausnahmslos drei Ebenen einen Punkt gemein haben und die räumlichen Hauptgesetze erfüllt sind.

Citations:

JFM 05.0271.01
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