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Sulle varietà che rappresentano le coppie di punti di due piani o spazi. (Italian) JFM 23.0696.01

Indem der Verf. das “neue Feld geometrischer Forschungen” bearbeitet, welches er durch die Abhandlung zugänglich gemacht hat, über die wir im vorigen Bande des Jahrbuchs berichtet haben (F. d. M. XXII. 1890. 609, JFM 22.0609.01), wurde es nötig, eine Aufgabe zu lösen, deren Verallgemeinerung zu dem Aufsatze Anlass gab, mit dem wir uns jetzt beschäftigen sollen. Wenn auch diese Arbeit somit nach ihrem Ursprunge als ein Nebenproduct der Aufstellung einer allgemeinen Theorie erscheint, so hat sie doch ihren eigenen Wert und verdient eine besondere Betrachtung.
Seien \(R_p,R_q, \dots k\) Räume resp. von \(p,\;q,\;\dots\) Dimensionen; man betrachte die Gruppen von \(k\) Punkten, jeder in einem der gegebenen Räume, als Elemente einer neuen Mannigfaltigkeit von \(\sigma =p+q+\cdots\) Dimensionen. Die Mannigfaltigkeit \(M_{\sigma}\), welche diese Darstellung in der einfachsten Weise bewerkstelligt, ist diejenige, welche im linearen Raume von \((p+1)(q+1)+\cdots -1\) Dimensionen aus den Punkten besteht, deren Coordinaten folgende Ausdrücke haben: \[ (1)\quad X_{lm\dots} =x_ly_m\dots (l=0,1,\dots , p;\quad m=0,1, \dots, q; \dots), \] wo \(x_l, y_m, \dots\) die Coordinaten der Punkte in \(R_p,R_q,\dots\) sind. Die Ordnung von \(M_{\sigma}\) ist \(\frac {\sigma !} {p!q!\dots}\). Ist insbesondere \(k=2\), so hat man eine bemerkenswerte Mannigfaltigkeit der Ordnung \(\left(\begin{smallmatrix} p+q\\q\end{smallmatrix}\right)\), welche in einem \((pq+p+q)\)-dimensionalen Raume enthalten ist und zwei \(\infty^p\) und \(\infty^q\) Reihen resp. von \(R_p\) und \(R_q\) enthält. Andere Eigenschaften derselben findet der Leser in der Originalarbeit selbst. Ist ferner \(p=q=1\), so bekommt man die bekannte Darstellung der Geometrie zweier Formen erster Stufe auf einer gewöhnlichen Quadrifläche. Ist \(p=2,\;q=1\), so gelangt man zu einer bekannten dreidimensionalen kubischen Mannigfaltigkeit. Ist endlich \(p=2,\;q=2\), so erhält man eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit \(\varSigma\) \(6^{\text{ter}}\) Ordnung des achtdimensionalen Raumes, deren Punkte die Punktepaare aus zwei Ebenen \(\pi,\;\pi'\) darstellen. \(\varSigma\) wird vom Verf. gründlich erfosrcht mit Methoden, welche auch auf den allgemeinen Fall \(p=q=n\) passen. Im Falle \(n=2\) kann \(\varSigma\) aber zwei verschiedene Fälle darbieten, den elliptischen und den hyperbolischen. Nun ist es höchst bemerkenswert, dass im elliptischen Falle \(\varSigma\) durch ihre reellen Punkte alle (complexen) Elemente eines Grundgebildes zweiter Stufe darstellen kann, wie eine gewöhnliche Quadrifläche (z. B. eine Kugelfläche) durch ihre reellen Punkte alle (complexen) Elemente eines Grundgebildes erster Stufe darstellen kann. Auf welche Weise man diese Darstellungen benutzen kann, wird vom Verf. am Ende dieser Abhandlung beiläufig gesagt und in einer längeren Arbeit, von welcher der nächste Band des Jahrbuchs Nachricht geben wird, ausführlicher erörtert.

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JFM 22.0609.01
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[1] Il fatto che per unS 6 passano tre iperpiani tangenti a {\(\Sigma\)} si può vedere in altri modi: ad eso considerando la superficieF 6 ďintersezione di quello spazio con {\(\Sigma\)} (superficie che è stata studiata specialmente dal sig. Bordiga: Atti Ist. Veneto, t. IV, ser. 6a, 1836). Su essa giace un seilatero semplice: per due lati opposti qualunque di questo passano due piani di schiere opposte di {\(\Sigma\)} i quali staranno in un iperpiano tangente passante per ľS 6, ecc.
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