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Réalisation et usage des formes imaginaires en géométrie. (French) JFM 23.0727.01
Nouv. Ann. (3) X. 172-179, 276-296, 329-340, 373-384, 417-428, 459-472; auch sep. bei Gauthier-Villars et Fils (1891).
Wir hatten bereits im vorigen Jahre über eine Abhandlung des Herrn Marie berichtet, in der die imaginären, einem algebraischen Gebilde \[ \text{(1)}\quad f(x,\;y)=0 \] angehörigen Elemente durch Betrachtung der conjugirten Curven bewältigt wurden (vergl. F. d. M. XXII. 1890. 694, JFM 22.0694.02). Den Abschluss hatten Betrachtungen über das Integral \[ \text{(2)}\quad \int ydx \] gebildet. Von den Perioden entstanden die einen durch Integration längs der geschlossenen Züge der reellen Curve von (1) und ihrer “Imaginärenveloppe”, andererseits hatten die geschlossenen Curven desselben “Systems conjugirter Curven”, – die mit denselben Zügen der reellen Curve und ihrer Imaginärenveloppe in Berührung stehen, – denselben Inhalt, der, mit \(i\) multiplicirt, eine Periode war. Endlich ergab sich auf jeder Asymptote eine unendlich gestreckte Ellipse, deren Inhalt, mit \(\varPi i\) multiplicirt, eine “cyklische Periode” war. Herr Marie erläutert nun, dass das Auftreten eines Doppelpunktes die Zahl der Perioden um zwei Einheiten vermindert. Geht z. B. ein geschlossener Zug der reellen Curven in einen isolirten Punkt über, so verschwindet ihr Inhalt, der vorher eine Periode war, und je zwei von den inhaltsgleichen conjugirten Curven, die vorher diesen Zug und einen anderen berührten, fliessen zu einem 8-förmigen Zuge zusammen, dessen Inhalt unter Beachtung des Umlaufssinnes verschwindet, weshalb noch eine Periode ausscheidet. Es verschwinden sämtliche Periode des Integrals, wenn die algebraische Curve die Maximalzahl von Doppelpunkten und reellen Asymptoten besitzt und diese letzteren im Unendlichen dreipunktig berühren. Der Fall der Curve dritter Ordnung wird besonders behandelt.
Nach Andeutungen über die Rectification von Curven und einer kurzen Entwickelung über die Exponentialfunction und den Logarithmus wendet sich Herr Marie zu räumlichen Betrachtungen. Nachdem er gezeigt hat, dass der reelle Punkt \[ x_1=\alpha +\beta ,\quad y_1=\alpha' +\beta' ,\quad z_1=\alpha'' +\beta'' \] zu dem imaginären Punkte \[ x=\alpha +\beta i,\quad y=\alpha' +\beta' i,\quad z=\alpha'' +\beta'' i \] in einer Beziehung steht, die vom Coordinatensystem unabhängig ist, werden der Gleichung einer Fläche \[ \text{(3)}\quad f(x, y, z)=0 \] die Hülfsgleichungen \[ \text{(4)}\quad \frac {\beta}c =\frac {\beta'} {c'} =\frac {\beta''} {c''} \] adjungirt. Die Punkte, welche die Lösungen von (3) und (4) realisiren, liegen auf einer conjugirten Fläche der gegebenen. Diese Flächen berühren die reellen Schalen der gegebnen Flächen längs Curven und die Schalen einer Hülfsfläche, der “Realisirung der Imaginärenveloppe”, in Punkten. Eine Ebene, welche die Richtung \[ c:c':c''=x:y:z \] der conjugirten Fläche enthält, schneidet sie in einer Curve, die zu der Schnittlinie von (3) mit der Ebene conjugirt ist. Hierauf beruht es, dass die geschlossenen conjugirten Flächen eines Systems dasselbe Volumen besitzen.
Ohne näher darauf einzugehen, wie das Doppelintegral \[ \int zdxdy \] bei fester Begrenzung, aber veränderlichem Integrationsgebiet sich verhält, spricht Herr Marie doch von “Perioden” des Doppelintegrals. Unter einer Periode wird der Wert des Integrals \[ \int \varOmega dy \] verstanden, wobei \(\varOmega\) eine Periode des Integrals \(\int zdx\) der Curve \[ f(x, y, z)=0,\quad y=\text{const.} \] ist, und die Integration zwischen zwei Werten zu nehmen ist, für welche \(\varOmega\) verschwindet. Einzelne von diesen Perioden, z. B. die Inhalte geschlossener Schalen der Fläche und die mit \(i\) multiplicirten Inhalte geschlossener Schalen einer conjugirten Fläche, sind vom Coordinatensystem unabhängig. Bei anderen, die z. B. aus abgeplatteten Ellipsoide in den Tangentialebenen unendlich ferner Punkte resultiren, wird auf die Erörterung dieser Frage nicht eingegangen.
Herr Marie wendet sich nun zu den Flächen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, bei denen alle Perioden verschwinden. Jedenfalls müssen sie eine Doppelcurve von möglichst grosser Ordnung besitzen, ausserdem von \(n\) Ebenen im Unendlichen je in einer dreifachen Geraden geschnitten werden. Den Abschluss der Arbeit bilden Betrachtungen über die Taylor’sche Reihe.