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Relation entre les rayons de courbure des développées des courbes réciproques. (French) JFM 23.0744.01

Die Tangenten zweier Curven in zwei Punkten \(L,\;L_1\) mögen sich in \(A\) schneiden. Die Gerade \(LL_1\) berühre eine dritte Curve in \(M\). \(A\) erzeugt eine Curve, deren Normale \(AP\) sei. Es sei \[ LM=l,\quad L_1M=l_1, \]
\[ \angle ALM=\lambda ,\quad AL_1M=\lambda_1 ,\quad LAP=\alpha ,\quad L_1AP=\alpha_1. \] Dann ist nach Aoust, Analyse infinitésimale des courbes planes, L. II. Ch. IV. 294, die Relation bekannt: \[ \frac {r\sin^2 \lambda \cos \alpha}l =\frac {r_1\sin^2 \lambda_1 \cos \alpha_1} {l_1}\,, \] wo \(r,\;r_1\) die Krümmungsradien der Curven \((L),\;(L_1)\) bezeichnen. Es wird der Fall betrachtet, wo \(AL\) mit \(AP\) zusammenfällt, und auf zwei Curven \((A),\;(A')\) angewandt. Dann ergiebt sich die Relation: \[ \text{(3)}\qquad \frac {r\sin^2 \lambda} {l\cos \alpha_1} =\frac {r'\sin^2 \lambda'} {l'\cos \alpha_1'} =\frac {r_1\sin^2 \lambda_1} {l_1}, \] welche zu folgenden zwei Sätzen führt. Der erste lautet: “Ist eine Curve \(B\) so beschaffen, dass das Verhältnis \(BA:BA'\) der Entfernungen jedes ihrer Punkte von zwei Curven \((A)\) und \((A')\) constant ist, so liegen die Krümmungsmittelpunkte von \((A)\) und \((A')\) in gerader Linie mit dem Punkte, wo \(AA'\) seine Enveloppe berührt”. (Zu ergänzen ist vermutlich, dass dieser Punkt eben der obengenannte Punkt \(B\) sein soll.) Zweitens wird der Fall betrachtet, wo bei Curven \((L),\;(L')\) transformirte durch reciproke Radienvectoren von einander sind. Gleichung (3) wird dann: \[ \frac {LD}l =\frac {L'D'} {l'}, \] wo \[ LD =r\sin^2 \lambda ,\quad L'D'=r'\sin^2 \lambda' \] ist, und \(D,\;D'\) die Fusspunkte der Lote aus den Krümmungsmittelpunkten der Evoluten von \((A)\) und \((A')\) auf \(LL'\) bedeuten. Der Satz sagt dann, dass \(D\) und \(D'\) mit dem Pole der Transformation in gerader Linie liegen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML