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Ueber die reellen Züge algebraischer Curven. (German) JFM 23.0753.02
Der Verf. charakterisirt zunächst den Unterschied zwischen dem paaren und unpaaren Charakter eines ebenen Curvenzuges, indem er die homogenen Coordinaten eines Curvenpunktes als rechtwinklige Coordinaten eines Raumpunktes deutet und so der Curve einen Kegel zuordnet, dessen Spitze im Coordinatenanfang liegt. Kegel und Curvenzug heissen unpaar oder paar, je nachdem der erstere den Raum in zwei oder (mit Hinzufügung des Scheitelraumes) in drei Gebiete teilt. Dem Innen- und Aussenraume des Kegels entsprechen hierbei das Innere und Aeussere Des Curvenzuges. Auf diese Bestimmungen gründen sich nun Untersuchungen über die verschiedenen Möglichkeiten, welche bei Curven mit der Maximalzahl reeller Züge hinsichtlich des Charakters und der Lage dieser Züge vorkommen. Es werden dabei Curven von gerader und ungerader Ordnung unterschieden und die Resultate für die Fälle \(n=6,7,8\) speciallisirt. Sodann wird die von Harnack für algebraische ebene Curven beantwortete Frage nach der Maximalzahl ihrer reellen Züge auf Raumcurven ausgedehnt und festgestellt, dass diese Zahl bei einer irreduciblen Raumcurve \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(\frac14 (n-2)^2+1\) oder \(\frac14 (n-1)(n-3)+1\) ist, je nachdem \(n\) gerade oder ungerade ist. Hierauf werden die Lagen- und gestaltlichen Verhältnisse dieser Curven untersucht und speciell für ihre unpaaren Züge die Maximalzahlen angegeben. Je nachdem \(n=4\nu\), \(4\nu +1\), \(4\nu +3\) ist, existiren höchstens \(2\nu -2,\;2\nu -1,\;2\nu -1\) unpaare Züge. Ausnahmsweise gelten für \(n=3, 4, 5\) bezw. die Zahlen 1, 2, 3. Schliesslich wird bewiesen, dass ebene und Raumcurven mit den ermittelten Maximalzahlen wirklich existiren.

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