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Sur un problème relatif à la déformation des surfaces. (French) JFM 23.0812.01

Es ist bekannt, dass sich sowohl die Umdrehungsflächen, als auch allgemeiner die Gesimsflächen (moulures) so biegen lassen, dass sie in Flächen derselben Art übergehen, und dass dabei die Krümmungslinien einander entsprechen, deren eines System, nämlich die Parallelkreise bezw. Trajectorien, in parallelen Ebenen liegen.
Der Verfasser stellt sich nun die allgemeine Frage: Welche Flächen \(S\) kann man so biegen, dass ein System ebener paralleler Schnittlinien in ein ebensolches System übergeht? Es ist bekannt, dass, wenn man \(x\) und \(y\) als Parameter wählt, jede der drei Coordinaten der gebogenen Fläche \(S'\) die partielle Differentialgleichung erfüllen muss: \[ (s^2-rt)(P^2+Q^2-1)+(S^2-RT)(p^2+q^2+1) + (rT-2sS+tR)(Pp+Qq)=0. \] [Diese Formel enthält in der Abhandlung mehrere Druckfehler]. In ihr sind \(p,\;q,\;r,\;s,\;t,\;P,\;Q,\;R,\;S,\;T\) die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von \(z\) und von \(X, Y\) oder \(Z\). Sollen nun die Schnitte senkrecht zur \(x\)-Axe in der gebogenen setzen \(X\) Function von \(x\) allein; dann kommt man auf die Bedingung, dass \[ s^2-rt=tpF(x) \] sein muss, wo \(F(x)\) eine willkürliche Function von \(x\) bedeutet. Diese Gleichung lässt sich durch die Methode von Monge und Ampère integriren. Es ergiebt sich, dass die Flächen \(S\), welche eine Biegung der verlangten Art gestatten, durch folgende Eigenschaft charakterisirt sind:
Es seien in der Ebene der \(yz\) zwei beliebige Curven \(C\) und \(C'\) gegeben, und \(M\) und \(M'\) seien zwei Punkte derselben mit parallelen Tangenten. Man verbinde diese beiden Punkte und teile die Verbindungsline nach einem Verhältnis \(k\) durch den Punkt \(M_k\). Der Ort von \(M_k\) ist eine Curve \(C_k\); bei variirendem \(k\) erhält man ein ganzes System solcher Curven. Man verschiebe nun jede Curve \(C_k\) parallel zur \(x\)-Axe um die Strecke \(x\), wo \(x\) eine willkürliche Function von \(k\) ist. Die so verschobenen Curven bilden die Schnitte einer Fläche \(S\).
Die Aufsuchung der Flächen \(S'\) ist dann durch Quadraturen möglich. Wählt man für \(C\) und \(C'\) concentrische Kreise, so sind \(S\) und \(S'\) Umdrehungsflächen. Sind \(C\) und \(C'\) irgend zwei Parallelcurven, so sind die Flächen \(S\) und \(S'\) Gesimsflächen. Ist \(C'\) aus \(C\) durch Translation entstanden, so sind auch \(S\) und \(S'\) Translationsflächen. Sind \(C\) und \(C'\) ähnlich und ähnlich liegend, so sind es auch die Curven \(C_k\); sind es ähnlich und ähnlich liegende Kegelschnitte, so kann man das Verschiebungsgesetz so wählen, dass \(S\) eine beliebige Fläche zweiter Ordnung wird. So entsteht eine Reihe specieller Fälle, in denen sich auch die Flächen \(S'\) verhältnismässig einfach ausdrücken lassen.
Bei dem Interesse, welches dieses Biegungsproblem verdient, möge dem Referenten der Hinweis gestattet sein, dass man die Curven \(C_k\) auch auffassen kann als Parallelschnitte einer beliebigen abwickelbaren Fläche. Um also die Fläche \(S\) zu erhalten, braucht man nur ein beliebiges System paralleler Schnitte einer beliebigen abwickelbaren Fläche nach einem beliebigen Gesetze lotrecht zu ihren Ebenen zu verschieben. Ist z.B. \(x=f(y,z)\) die Gleichung einer beliebigen abwickelbaren Fläche, so ist \(\varphi (x)=f(y,z)\) die Gleichung einer Fläche \(S\).

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