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Sur les surfaces gauches dont les lignes de courbure possèdent une propriété donnée. (French) JFM 23.0820.03

Bezeichnet man mit \(r\) den Abstand eines Punktes einer Regelfläche von dem Strictionspunkte der Erzeugendem, auf der er liegt, mit \(s\) den Bogen der Strictionslinie bis zu diesem Strictionspunkte, so ist die Differentialgleichung der Krümmungslinien: \[ \left( \frac {dr} {ds} \right)^2 +\varphi (r)\;\frac {dr}{ds} +\psi (r)=0, \] \(\varphi\) und \(\psi\) sind Polynome zweiten Grades in \(r\), deren Coefficienten Functionen von \(s\) sind. Sollen die Ausdrücke für \(\frac {dr} {ds}\) rational in \(r\) sein, so muss \(\psi (r)\) identisch gleich Null sein (Man vergl. S. M. F. Bull. XVI. 119, F. d. M. XX. 1888. 815, JFM 20.0815.02). Die Flächen sind dann solche, für welche der Verteilungsparameter constant ist und die Strictionslinie Krümmungslinie. Sie werden kurz als Flächen \(\varSigma\) bezeichnet.
Besitzt ein System von Krümmungslinien einer Regelfläche eine Eigenschaft, welche durch eine in \(r\) rationale Differentialgleichung erster Ordnung ausdrückbar ist, so gehört sie zu den Flächen \(\varSigma\).
Mit Hülfe dieser Bemerkung kann man z. B. die Frage beantworten: Alle Regelflächen zu bestimmen, deren eines System von Krümmungslinien aus Trajectorien der Erzeugenden besteht. Es ergiebt sich, dass die einzigen Flächen dieser Art sind: das einschalige Umdrehungshyperboloid und die Minimalschraubenfläche.

Citations:

JFM 20.0815.02
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