Mémoire sur les surfaces gauches rationnelles. (French) JFM 23.0829.01

Genty

S. M. F. Bull. XIX, 70-93 (1891).

Die Gerade \[ \frac {x-x_1}u =\frac {y-y_1}v =\frac {z-z_1}w \] ist durch Angabe der sechs Liniencoordinaten: \[ u,\;v,\;w, \]
\[ \xi =wy_1-uz_1,\;\eta =uz_1-wx_1,\;\zeta =vx_1-uy_1 \] (in der letzten Coordinate steht in Folge eines Druckfehlers \(y\) statt \(y_1\)) vollständig gegeben. Sind nun diese sechs Grössen rationale Functionen einer Variable \(t\), etwa vom \(n^{\text{ten}}\) Grade, so durchläuft die Gerade eine rationale Regelfläche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(C_n\). Auf dieser Grundlage wird nun zunächst gezeigt, dass die Fläche von \(4n+1\) Bedingungen abhängt, dass eine gegebene Erzeugende der Fläche drei Bedingungen, und eine gegebene Leitlinie derselben \(n+1\) Bedingungen entspricht (im Falle \(n>3\)). Eine Fläche \(C_3\) hat im allgemeinen zwei reelle Leitinien, eine Fläche \(C_2\) unendlich viele.
Hierauf werden die Fälle untersucht, in welchen zwei Leitlinien zusammenfallen, oder eine Leitlinie ganz im Unendlichen liegt; eine Fläche, bei welcher der letztere Fall eintritt, hat eine Leitebene, und die Zahl der zur Bestimmung einer solchen Fläche notwendigen Bedingungen ist \(3n+2\). Als Beispiel werden dann die Gleichungen einer Regelfläche zweiten Gerades, die durch drei gegebene Gerade, und einer Regelfläche dritten Grades, die durch vier Gerade geht, in Liniencoordinaten aufgestellt.
Dann folgt die Bestimmung der Doppelcurve, welche den Grad \(\frac12 (n-1)(n-2)\) hat, falls die Fläche vom Gerade \(n\) ist, sowie die Aufsuchung der \(2(n-2)\) singulären Geraden der Fläche, ferner die Bestimmung der Strictionslinie, des Centralpunktes und der Centralebene sowie des Parameters, der die Verteilung der Tangentialebenen längs einer Erzeugenden angiebt. Des weitern werden die Gleichungen der Tangentialebene und des von den Normalen längs einer Geraden der Fläche gebildeten Paraboloides und die des osculirenden Hyperboloides aufgestellt.
Zum Schlusse wird noch gezeigt, wie sich aus den gefundenen Resultaten die Schwarz’sche Klassification der rationalen Developpabeln der ersten sieben Ordnungen ergiebt, und eine obere Grenze für die Anzahl der Rückkehrpunkte einer unicursalen Raumcurve angegeben.
Wenn auch die Resultate grösstenteils bekannt sind, so muss doch zugegeben werden, dass die Einführung der Plücker’schen Linincoordinaten die ganze Betrachtung sehr elegant gestaltet.

Reviewer: v. Braunmühl, Prof. (München)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. B. Theorie der algebraischen Flächen und Raumcurven.