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Note sur le problème de mécanique proposé au concours d’agrégation en 1891. (French) JFM 23.0953.04
Nouv. Ann. (3) X. 516-526 (1891).
Lösung der folgenden Aufgabe:
Ein rechtwinkliges Dreibein \(OXYZ\) dreht sich mit der constanten Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) um die Kante \(OZ\), die der Schwere entgegengesetzt gerichtet ist. Mit ihm dreht sich das Paraboloid \(P\), dessen Gleichung \(x^2-y^2=2pz\) ist. Ein Punkt \(M\) von der Masse 1, dem Gewichte \(g\), der sich auf \(P\) bewegt, wird vom Scheitel \(O\) mit einer Kraft \(2gMO/p\) angezogen. Sind ferner \(MA\) und \(MB\) die Lote, welche von \(M\) auf die durch \(O\) gehenden beiden geradlinigen Erzeugende von \(P\) gefällt werden, so wird \(M\) noch durch zwei nach den Strecken \(AM, BM\) gerichtete Kráfte von Grösse \(3gAM/p\) und \(3gBM/p\) angegriffen. Die Lage von \(M\) ist zu bestimmen durch die Werte der Parameter \(\lambda ,\mu \) aus den Gleichungen: \[ \frac {x^2}{\lambda -p}+\frac {y^2}{\lambda +p}=\lambda -2z,\quad \frac {x^2}{\mu +p}+\frac {y^2}{\mu -p}=\mu +2z \] der durch \(M\) gehenden, mit \(P\) homofocalen Paraboloide. 1) Die partielle Differentialgleichung zu bilden, von der es nach dem Jacobi’schen Theoreme genügt, ein vollständiges Integral zu kennen, um daraus durch einfache Differentiationen die Gleichungen der Bewegung des Punktes \(M\) zu erhalten. 2) Dieses vollständige Internal zu finden, sowie die Bewegungsgleichungen, wenn \(\omega =0\). 3) Die Gleichung der Bahnlinie zu integriren und die Gestalt derselben anzugeben, wenn \((\omega =0)\) zu Anfang: \[ x=y=p\sqrt {\tfrac 32},\quad \frac {dx}{dy}=-\tfrac 18(3+3\sqrt 3) \sqrt{pq},\quad \frac {dy}{dt}=\tfrac 18(9+\sqrt 3)\sqrt{pq}. \]
Full Text: EuDML