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Die einfachen Gruppen im ersten und zweiten Hundert der Ordnungszahlen. (German) JFM 24.0135.03

Auf Sätze des Herrn Sylow (Math. Ann. V. 584; F. d. M. IV. 1872. 56, JFM 04.0056.02) gestützt, untersucht der Verf. die Möglichkeit, einfache Gruppen zu bilden, bis zur Ordnungszahl 200, und kommt zu folgendem Resultat:
Innerhalb des Zahlengebietes von 1 bis 200 existiren nur zwei einfache Gruppen mit zusammengesetzter Ordnungszahl, die Ikosaedergruppe von 60 Operationen und die Gruppe von 168 Operationen, welche der Modulargleichung für die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen angehört. — Hervorzuheben ist noch folgende Consequenz: Alle Gruppen, deren Ordnung nicht grösser als 200 und verschieden von 60, 120, 168, 180 ist, sind auflösbar, entsprechen also Gleichungen, die durch Wurzelzeichen gelöst werden können.

Citations:

JFM 04.0056.02
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References:

[1] Hinsichtlich der Definition einer abstracten Gruppe vergl. man: Frobenius, Journal für Math. Bd. 100, p. 180, Dyck, diese Ann. Bd. XX, p. 1, Weber ebendaselbst p. 302.
[2] Traité des substitutions et des équations algébriques. Paris 1870, p. 91?213.
[3] Liouville’sches Journal, Bd. XI, p. 409.
[4] Mathematische Annalen Bd. 34, p. 30 bis 33. Vgl. auch C. Jordan: Bulletin de la société mathématique de France. T. I, p. 48.
[5] Cf. Jordan: Traité des substitutions etc., p. 387, Théorème III.
[6] Mathematische Annalen Bd. 5, p. 584. Es ist zu bemerken, dass die Abhandlung des Herrn Sylow von Buchstabenvertauschungen handelt. Dass aber das Resultat von der Darstellung der Gruppe unabhängig ist, kann schon daraus ersehen werden, dass jede Gruppe durch Vertauschungen von Buchstaben ausgedrückt werden kann. (Man vergl. Frobenius und Stickelberger, Journal für Mathematik Bd. 86, p. 230 Anm. und Dyck, Math. Ann. Bd. 22, p. 84).
[7] Jordan: Traité des subst. p. 56.
[8] Vgl. Sylow a. a. O. p. 589, Théorème V.
[9] Gewisse, viel gebrauchte Sätze erscheinen als specielle Fälle von diesem. Man vergl. z. B. Netto, Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra, Leipzig 1882, p. 35, Lehrsatz IX. Nahe verwandt mit dem Satz des Textes ist die Prop. V des Herrn Askwith im Quaterly Journal of Mathematics vol. XXIV, p. 121.
[10] Cf. J. A. Serret: Cours d’algèbre supérieure, V. ed. Paris 1885, Tome II, p. 341, Théorème I.
[11] Vergl. z B. J. A. Serret; Cours d’algèbre supérieure, T. II, p. 335?340.
[12] Ebendaselbst p. 336.
[13] Vergl. z. B. F. Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder, Leipzig 1884, p. 19.
[14] Exercices d’analyse et de physique mathématique, Paris 1840, T. III, pag. 195.
[15] Vgl. Frobenius: Journal für Math. Bd. 100, pag. 181.
[16] Man könnte diesen Fall ausschliessen vermge eines von Herrn Jordan ausgesprochenen Satzes. Naoh diesem muss jede traneitive und primitive Gruppe von Vertauschullgen von mehr als 8 Buchstaben, die eine Substitution von der Form (a 1 a 2) (a 3 a 4) enthält, die alternirende Gruppe eathalten (Jonrnal für Math. Bd. 79, p. 256). Die Primitivität der vorausgesetzten Gruppe wäre leicht zu erweisen. Jede einfache transitive Gruppe vonm Buchstaben ist entweder primitiv oder als trswsitive Gruppe von nurm 1 Buchstaben darstellbar, wom 1 ein Theiler vonm ist.
[17] Cf. Netto Substitutionentheorie u. s. w. p. 220 und p. 232.
[18] Vgl. diese Annalen, Bd. 34l, p. 32 unten.
[19] C. Jordan, Traité etc. p. 387, no. 521. Corollaire I.
[20] Hesse: Crelle’s Journal für Mathematik, Bd. 34, p. 193.
[21] Vgl. Serret Cours d’algèbre p. 669.
[22] Cf. Serret, Cours d’algèbre supérieure p. 341, no. 454.
[23] Dasselbe Verfahren benutzt Herr F. Klein bei der Ikosaedergruppe. Vergl. a. a. O. p. 18.
[24] Es ist zugleich gezeigt, dass zweierlei transitive Gruppen von Vertauschungen von 8 Buchstaben existiren, die 168 Substitutionen enthalten, eine auflösbar, die andere einfach. In der Aufzählung, die Herr Askwith, von den Gruppen gegeben hat, die aus Vertauschungen von 8 Buchstaben gebildet wrrden können, scheint eine Gruppe übersehen zu sein. Es findet sich daselbst nur eine Gruppe von der Ordnung 168, und zwar ist dies die einfache Gruppe. Vergl. Quaterly Journal of Mathematics, Vol. XXIV, p. 324. Es finden sich dagegen beide Gruppen in der Kirkman’schen, bis zu 10 Buchstaben gehenden Aufzählung: Proceedings of the literary and philosophical society of Manchester, vol. III. 1864, p. 144. Herr Cayley im Quaterly Journal Vol. XXV, p. 154 giebt auch nur eine der beiden Gruppen.
[25] Man könnte auch den S. 69 Anm. genannten Satz des Herrn C. Jordan anwenden, dessen Beweis aber a. a. O. nicht vollständig ausgeführt ist.
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