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Extension of a theorem of Mr.Tchebycheff to complex prime numbers. (Extension aux nombres premiers complexes des théorèmes de M. Tchebycheff.) (French) JFM 24.0171.02

Die Abhandlung bezweckt, die bekannten von Tschebyscheff entwickelten Methoden zur Bestimmung der Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegebenen Grenze auf das Gebiet der complexen Zahlen auszudehnen. Die ersten Abschnitte enthalten im wesentlichen die Ableitung der Tschebyscheff’schen Sätze, und es finden hierbei auch die von Sylvester herrührenden Zusätze (vgl. F. d. M. 1891. 181, JFM 23.0181.02) Berücksichtigung. Es werden dann die Grundprincipien der Theorie der Ideale nach Dedekind dargelegt. Im folgenden Abschnitte wird die Formel \[ T(x)=\varSigma\varTheta\root m\of{\frac xn} \] bewiesen, welche der bekannten Tschebyscheff’schen Formel nachgebildet ist; in derselben bedeutet \(T(x)\) die Summe der Logarithmen der Normen aller derjenigen Ideale eines algebraischen Zahlkörpers, deren Norm diejenige von \(x\) nicht überschreitet; ferner bezeichnet \(\varTheta\root m\of{\frac xn}\) die Summe der Logarithmen der Normen aller derjenigen Primideale, deren Norm die \(m^{\text{te}}\) Wurzel derjenigen von \(x\), dividirt durch die \(m^{\text{te}}\) Wurzel der Norm von \(n\), nicht überschreitet; die Summe ist in obiger Formel über alle positiven ganzen rationalen Zahlen \(m\) und über alle Ideale \(n\) des Körpers zu erstrecken. Die Formel wird im letzten Teile der Arbeit auf den einfachen Fall des quadratischen, aus der imaginären Einheit \(i\) zusammengesetzten Zahlkörpers angewandt – ein Fall, in welchem freilich die Idealtheorie noch gar nicht zur Geltung kommt. Der Verfasser findet, dass die Summe der Logarithmen der Primzahlen von der Form \(4n+1\), welche \(x\) nicht überschreiten, unendlich oft kleiner als \(ax\), wenn \(a>\frac12\), und unendlich oft grösser als \(ax\) ausfällt, wenn \(a<\frac12\) ist.

MSC:

11A41 Primes
11N13 Primes in congruence classes
11R11 Quadratic extensions

Citations:

JFM 23.0181.02
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Full Text: EuDML