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Arithmetical theorems. (Arithmetische Lehrsätze.) (Czech) JFM 24.0186.01
Bezeichnet \(E\) (entier) das bekannte Symbol Legendre’s, so ist \[ (1) \qquad E\left(\frac nk\right)-E\left(\frac{n-1}{k} \right)=\begin{cases} 1, & \text{(divis. }k),\\ 0, & \text{(non div. }k);\end{cases} \] daraus folgt dann \[ \sum^n_{k=1}\left[E\left(\frac nk \right)-E\left(\frac{n-1}{k} \right)\right]=\varTheta(n), \] wo \(\varTheta(n)\) die Divisorenanzahl von \(n\) bezeichnet, und \[ (2) \qquad \sum^n_{k=1}\varTheta (k)=\sum E\left(\tfrac nk\right). \] Aus Formel (1) folgt weiter \[ (3) \qquad \sum^n_{k=1}\varTheta_1(k)=\sum kE\left(\tfrac nk \right) \] wenn \[ \varTheta_1(n) = \varTheta(n)+2, \] und ebenso \[ (4)\qquad \sum^n_{k=1}\varTheta_s(k)-\sum k^s E\left(\tfrac nk\right), \] wo \(\varTheta_s(n)\) die Summe der zur Potenz \(s\) erhobenen Divisoren von \(n\) bedeutet, so dass daraus für \(s = 0\), 1 die Formeln (2), (3) sich ergeben.
Allgemein gilt dann, wenn \[ f(1), f(2), f(3), \dots \] beliebige Grössen bezeichnen und \(\delta\) alle Divisoren vertritt, also \[ \sum_\delta f(\delta) = F(n), \] wie z. B. \[ F(12) = f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(6)+f(12), \] die Relation \[ (5)\qquad \sum^n_{k=1}F(k)=\sum f(k)E \left(\tfrac nk \right). \]
MSC:
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
Keywords:
divisor sums
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Full Text: EuDML