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Zur Theorie der Systeme linearer Differentialgleichungen mit einer unabhängigen Veränderlichen. II. (German) JFM 24.0315.02
In diesem zweiten Teile der Arbeit, deren erster in den Math. Ann. XXXIX. 391-408 (F. d. M. XXIII. 1891. 325, JFM 23.0325.01) erschienen ist, wird eine Methode entwickelt, welche jedes an der singulären Stelle \(x = 0\) sich regulär verhaltende System linearer Differentialgleichungen für \(y_1,y_2,\dots,y_m\) als Functionen von \(x\) durch eine Reihe von Substitutionen von der Form \(y_a=xz_a\) in die im ersten Teil untersuchte “kanonische” Form \[ x\;\frac{dy_\alpha}{dx} =\sum_\beta(a_{\alpha\beta}+a_{\alpha\beta}'x+\cdots)y_\beta\quad (\alpha,\beta=1,\dots,m) \] überzuführen gestattet. Die Methode gründet sich auf die Weierstrass’sche Theorie der bilinearen Formen und nimmt folgenden Gang: Das betrachtete System lässt sich auf die Form bringen: \[ (1)\quad x^{h=1}\;\frac{dy_k}{dx}=a_{k1}y_1+\cdots+a_{km}y_{m}+{\mathfrak P}_{k1}(x)y_1+\cdots+{\mathfrak P}_{km}(x)y_m \]
\[ (k=1,\dots,m), \] wo \({\mathfrak P}_{k1}(x),\dots,{\mathfrak P}_{km}(s)\) durch \(x\) teilbare Potenzreihen sind; \(h\) sei \(> 0\). Die Determinante \[ \begin{vmatrix}\l\quad & \l\quad & \l\\ a_{11}-s & \dots & a_{1m}\\ \quad \vdots\\ a_{m1} & \dots & a_{mm}-s\end{vmatrix} \] heisst die Determinante des Differentialgleichungssystems (1). Die Anzahl ihrer Elementarteiler sei \(< m\). Die Hauptaufgabe besteht darin, durch geeignete Transformationen das System (1) in ein anderes überzuführen, für welches die Anzahl der Elementarteiler der zugehörigen Determinante grösser geworden ist. Hierzu wird, wie im ersten Teile, die Weierstrass’sche Normalform eingeführt und über die dabei noch unbestimmt bleibenden \(Y\) so verfügt, dass das System durch Substitutionen obiger Gestalt in die verlangte Form übergeht. Durch wiederholte Anwendung dieses Transformationsverfahrens gelangt man zu einem System von der Form (1), dessen Determinante \(m\) Elementarteiler besitzt; dann sind aber sämtliche \(a_{\alpha\beta}\) gleich Null, so dass die Zahl \(h\) um 1 erniedrigt werden kann. Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis \(h= 0\) wird, womit man dann zu einem kanonischen System gelangt ist.

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References:
[1] Math. Ann. Bd. 39, S. 391.
[2] Sauvage, Ann. de l’Éc. norm. 1889. (S. 166 ist der Fall, dass die Determinante (3) identisch inr verschwindet, ausser Acht gelassen.)-Koenigsberger, Lehrbuch der Theorie der Differentialgleichungen, Cap. 6, II. (S. 448 ist nicht bewiesen, dassF(x) fürx=a von Null verschieden ist.)
[3] Habilitationsschrift § 3 und § 4.
[4] Königsberger’s Lehrbuch S. 446.
[5] Vgl. Koenigsberger und Sauvage. Es ist jedoch zweckmässig, $$\(\backslash\)mathfrak{y}_1 , \(\backslash\)ldots ,\(\backslash\)mathfrak{y}_{m - 1}$$ nicht wie dort in den Nenner zu bringen.
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