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Ueber die Integration simultaner partieller Differentialgleichungssysteme. (German) JFM 24.0328.01
Das Differentialgleichungssystem: \[ \begin{aligned} & A_{11}\;\frac{\partial z_1}{\partial x}+A_{12}\;\frac{\partial z_2}{\partial x} + B_{11}\;\frac{\partial z_1}{\partial y}+B_{12}\;\frac{\partial z_2}{\partial y}+C_1=0\\ & A_{21}\;\frac{\partial z_1}{\partial x}+A_{22}\;\frac{\partial z_2}{\partial x}+ B_{21}\;\frac{\partial z_1}{\partial y}+B_{22}\;\frac{\partial z_2}{\partial y}+C_2=0\end{aligned} \] lässt sich stets, wenn die Gleichungen algebraisch unabhängig sind, auf die Form bringen: \[ \begin{aligned} & p_1+ \alpha_{11}q_1+\alpha_{12}q_2+\beta_1 = 0,\\ & p_2+ \alpha_{21}q_1+\alpha_{22}q_2+\beta_2 = 0,\end{aligned} \] wo \(p\) und \(q\) die bekannten Bedeutungen haben. Es wird bewiesen, dass die Integration dieses Systems auf die Integration des totalen Differentialgleichungssystems: \[ \frac{dy}{dx}=M_\nu,\quad \frac{dz_1}{dx}=N_\nu,\quad \frac{dz_2}{dx}=P_\nu \quad (\nu=1,2) \] sich zurückführen lässt, wo \(M_1\) und \(M_2\) die Lösungen der quadratischen Gleichung \[ (\alpha_{11} -M)(\alpha_{22} - M)-\alpha_{12}\alpha_{21} = 0 \] sind und zwischen \(N\) und \(P\) die Gleichung besteht: \[ \alpha_{21}(\beta_1+N_\nu)+(M_\nu-a_{11})(\beta_2+P_\nu)=0\quad (\nu=1,2) \] unter der Bedingung, dass die beiden \((\nu = 1, 2)\) totalen Differentialgleichungssysteme zwei gleichzeitige Integrale besitzen. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen hierfür werden aufgestellt und schliesslich der eine besondere Behandlung erfordernde Fall untersucht, dass die beiden Werte von \(M\) einander gleich sind.

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Die höhere Analysis in 4 Abhandlungen, Berlin 1866, p. 365. · ERAM 066.1720cj
[2] Journal für reine und angew. Mathematik Bd. 81, pag. 243 und Bd. 93, pag. 188.
[3] Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles. Paris 1879.
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