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Kleinere Beiträge zur Gruppentheorie. VI, VII. (German) JFM 24.0335.02
Leipz. Ber. XLIV. 43-53, 292-296 (1892).
Nr. VI hat den Titel: “Nochmals die kanonische Parametergruppe” und beschäftigt sich, ebenso wie die in F. d. M. XXIII. 1891. 379 (siehe JFM 23.0378.01) besprochene Note, mit der Darstellung, die Hr. Schur für die infinitesimalen Transformationen dieser Gruppe gegeben hat. Nach Schur sind nämlich die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe, die zu einer \(r\)-gliedrigen Gruppe gehört, Quotienten beständig convergenter Potenzreihen. Es wird nun gezeigt, dass der gemeinsame Nenner dieser Quotienten als ein beständig convergentes Product von unendlich vielen ganzen Functionen (gewissen Determinanten) dargestellt werden kann, und dass also alle Nullstellen dieses Nenners angebbar sind. Die betreffende Productzerlegung beruht auf der bekannten Productzerlegung von \((e^x-1)/x\). Am Schlusse werden noch gewisse Differentialgleichungen für die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe aufgestellt.
Nr. VII: “Ueber reelle irreducible Gruppen von Berührungstransformationen”. Hier wird der von Hrn. Lie herrührende Begriff “irreducible Gruppe von Berührungstransformationen” auf den Fall angewendet, dass man nur reelle Gruppen betrachtet. Es ergiebt sich unter anderem, dass die allgemeine projective Gruppe der Ebene durch eine imaginäre Berührungstransformation der Ebene in eine reelle irreducible Gruppe von Berührungstransformationen übergeführt werden kann, bei der die beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung: \(y'' = +i\) und \(y'' =-i\) invariant bleiben. Man erhält auf diese Weise zugleich eine zweite reelle Form für die Zusammensetzung der allgemeinen projectiven Gruppe. Aehnliches gilt im Räume von \(n\) Dimensionen.