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Summary of certain works on variable systems of functions associated with a quadratic differential form. (Résume de quelques travaux sur les systèmes variables des fonctions associés à une forme différentielle quadratique.) (French) JFM 24.0371.02
Der Verfasser entwickelt hier die Grundzüge einer Theorie der Functionensysteme von \(n\) Variabeln \(x_1,\dots,x_n\), wie sie bei den verschiedensten Fragen der reinen Analysis, der Geometrie, der Mechanik und der Physik auftreten. Bezeichnet man die Functionen des Systems mit dem Symbol \(X_{r,s,\dots.t}\) und lässt die \(m\) Indices \(r,s,\dots,t\) sämtlich die \(n\) Werte \(1,2,\dots,n\) annehmen, so erhält man ein “\(m\)-faches Functionensystem von \(n\) Variabeln”, oder ein “System \(m^{\text{ter}}\) Ordnung” von \(n^m\) Functionen. Die einzelnen Functionen heissen die “Elemente” des Systems. Das System heisst invariabel, wenn es aus denselben Elementen hervorgeht, wie man auch die unabhängigen Variabeln wählen mag, andernfalls variabel. Es werden ausschliesslich zwei Gattungen variabler Systeme betrachtet: covariante und contravariante.
Sind \(X_{r_1,r_2,\dots,r_m},Y_{r_1,r_2,\dots,r_m}\) die Elemente eines und desselben covarianten Systems, je nachdem die unabhängigen Veränderlichen \(x_1,\dots,x_n\) oder \(y_1,\dots,y_n\) sind, so geht das eine in das andere über durch die Substitution: \[ Y_{r_1,r_2,\dots,r_m} =\sum_{s_1,s_2,\dots,s_m}X_{s_1,s_2,\dots,s_m}\;\frac{\partial x_{s_1}}{\partial y_{r_1}}\cdot\frac{\partial x_{s_2}}{\partial y_{r_2}}\cdots \frac{\partial x_{s_m}}{\partial r_{r_m}}\,. \] \((\sum_{s_1,\dots,s_m}\) bedeutet hier, dass jeder variable Index die \(n\) Werte \(1, 2, \dots, n\) annimmt.)
Die \(m\)-fachen contravarianten Systeme sind dagegen variabel gemäss der Substitution: \[ Y^{(r_1,r_2,\dots,r_m)}=\sum_{s_1,s_2,\dots,s_m} X^{(s_1,s_2,\dots,s_m)}\;\frac{\partial y_{r_1}}{\partial x_{s_1}}\cdot \frac{\partial y_{r_2}}{\partial x_{s_2}}\cdot \frac{\partial y_{r_m}}{\partial x_{s_m}}\,. \] Invariant heissen alle absolut unveränderlichen Ausdrücke, welche aus den Elementen eines oder mehrerer variabler Systeme gebildet sind, und daher sind die Systeme von der Ordnung Null Invarianten.
Diese variabeln Functionensysteme werden dann einer quadratischen Differentialform mit \(n\) Variabeln \[ \varphi=\sum_{rs}a_{rs}dx_rdx_s, \] welche “Fundamentalform” heisst, associirt. Hierauf werden einige Eigenschaften der quadratischen irreduciblen Differentialform entwickelt und dann Methoden angegeben, um aus jedem covarianten oder contravarianten System von der Ordnung \(m\) ein neues ebensolches System der Ordnung \(m+1\) abzuleiten. Die Anwendung dieser Methoden gestattet die Ableitung einer Reihe von Sätzen über die Functionensysteme, worunter besonders ein Theorem von Wichtigkeit ist, welches dahin lautet, dass man die ganze Betrachtung auf covariante Operationen beschränken kann, indem sich aus jedem Satze über variable Systeme dadurch ein reciproker Satz ergiebt, dass man die Worte covariant und contravariant vertauscht. Hierauf folgt die Untersuchung der Invarianten einer Fundamentalform und der associirten Systeme, und es gelingt dem Verfasser, alle unabhängigen absolut invariabeln Ausdrücke zu bestimmen, welche man mit den Coefficienten einer Form \(\varphi\), mit den Elementen eines oder mehrerer gegebener variabler Systeme und mit den Derivirten aller dieser Functionen bis zu einer gegebenen Ordnung \(m\) bilden kann.
Die Allgemeinheit und Verwendbarkeit der entwickelten Theorie wird zum Schlüsse noch an einigen Beispielen erläutert; so bestimmen sich unmittelbar die Gleichungen der Krümmungslinien, der conjugirten Curven und der Asymptotenlinien einer Fläche, ebenso erhält man die allgemeinen Gleichungen der Elasticität, sowie die Gleichungen des Gleichgewichtes und der Bewegung der Wärme im Innern eines Körpers.

MSC:
53A45 Differential geometric aspects in vector and tensor analysis
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