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Neue Beiträge zur Transformationstheorie der elliptischen Functionen. (German) JFM 24.0434.01

Im Anschluss an die Arbeiten der Herren Klein, Gierster und Kiepert beschäftigt sich Herr Fricke mit den Modulargleichungen erster Stufe, die sich bekanntlich dadurch auszeichnen, dass die durch sie definirten algebraischen Gebilde gegenüber denen, welche bei den Modulargleichungen höherer Stufe auftreten, besonders einfach ausfallen. Während die Herren Klein und Gierster sich auf die Fälle beschränkten, wo das algebraische Gebilde vom Geschlechte Null ist, hat Herr Kiepert analytische Hülfsmittel gefunden, die es ihm ermöglichten, die Untersuchung weit über diese Anfangsfälle fortzusetzen; er hat dabei vorzugsweise zusammengesetzte Transformationsgrade. betrachtet.
In zweifacher Weise werden die früheren Untersuchungen durch die vorliegende Abhandlung ergänzt.
Erstens legt Herr Fricke durchweg einen Primzahlgrad \(n\) zu Grunde und behandelt, abgesehen von dem wiederholt untersuchten Falle \(n=11\), die Fälle \(n=19, 23, 31, 47\) und, wenigstens in den Grundzügen, auch den Fall \(n= 71\); das Geschlecht der zugehörigen Riemann’schen Fläche \(F_{n+1}\) ist der Reihe nach: 1, 1, 2, 2, 4, 6.
Zweitens sind seine analytischen Hülfsmittel anderer Art. Denn einmal wird nach dem Vorgange des Herrn Klein consequent eine formentheoretische Schlussweise angewandt, indem nicht die zu den Untergruppen der Modulgruppe gehörigen Modulfunctionen, sondern die zugehörigen Modulformen herangezogen werden, und dann tritt eine Reihe wichtiger, bisher noch nicht benutzter Modulformen auf, die in enger Beziehung zu den binären quadratischen Formen mit ganzzahligen Coefficienten stehen, deren Determinante gleich \(-n\) ist, wenn \(n\) den Transformationsgrad bedeutet; zur Einführung dieser Modulformen ist Herr Fricke durch eine Arbeit des Herrn Hurwitz (Math. Ann. XXVII) veranlasst worden.
Die weiteren Ergebnisse der vorliegenden Arbeit sind reproducirt im sechsten Capitel des Abschnittes V des Werkes: Felix Klein, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, herausgegeben von Dr. R. Fricke, Bd. 2, Leipzig 1892, wo auch der Fall \(n = 35\) behandelt wird (vgl. das Referat oben S. 418 (JFM 24.0412.01)).

Citations:

JFM 24.0412.01
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References:

[1] Es kommen namentlich die beiden Abhandlungen in Betracht:Ueber die Transformation der elliptischen Functionen bei zusammengesetztem Transformationsgrade, Math. Ann. Bd. 32;Ueber gewisse Vereinfachungen der Transformationsgleichungen in der Theorie der elliptischen Functionen, ebenda Bd. 37.
[2] Man vergl. hierüber die Entwicklungen von Klein in den Math. Ann. Bd. 36, p. 5.
[3] Die in (2) definirte Modulform ist bereits seit langer Zeit in der Transformationstheorie in Betracht gezogen worden; in den älteren an Weierstrass sich anschliessenden Arbeiten ist sie durch,G 1 bezeichnet; man sehe z. B. F. Müller,De transformatione functionum ellipticarum (Berlin 1867).
[4] Ueber endliche Gruppen, die in der Theorie der elliptischen Transcendenten auftreten, Math. Ann. Bd. 27.
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