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Sui postlilati fondamentali della geometria projettiva in uno spazio lineare a un numero qualunque di dimensioni. (Italian) JFM 24.0618.01

In seinen Vorlesungen des akademischen Jahres 1890-91 hat Herr Segre die Frage aufgeworfen, ob es möglich sei, einen \(n\)-dimensionalen Raum nicht durch Coordinaten, sondern durch ein System von Eigenschaften zu erklären, welche zu der Darstellung durch Coordinaten führen. Von derselben sprach er auch öffentlich bei einer anderen Gelegenheit, indem er bemerkte (Rivista di Mat. I. 59), man habe noch nicht ein System von unter einander unabhängigen Postulaten gefunden, welche fähig sind, einen \(n\)-dimensionalen linearen Raum vollständig zu bestimmen, und insbesondere zur Bestimmung der Punkte desselben durch Coordinaten genügen. Diese Aufgabe wurde nach einander behandelt durch Herrn Amodeo (Torino Atti XXVI, vgl. F. d. M. XXIII. 1891. 694, JFM 23.0694.02) und Herrn Fano in der zu besprechenden Abhandlung: da in dieser die Berührungspunkte und die Verschiedenheiten der beiden Auflösungen sorgfältig gekennzeichnet werden, so ist eine Vergleichung der beiden Abhandlungen überflüssig.
Es ist gegeben eine Gesamtheit von Elementen, welche wir der Kürze wegen “Punkte” nennen. Als erste Grundeigenschaft dieser Mannigfaltigkeit wählen wir die folgende: “zwei beliebige Punkte derselben bestimmen immer eindeutig ein neues Gebilde, welches wir “Gerade” nennen wollen.” Enthält die Mannigfaltigkeit einen Punkt ausserhalb einer in ihr enthaltenen Geraden, und verbindet man den Punkt mit den Punkten der Geraden, so wird ein neues Gebilde erzeugt, die “Ebene”, welches wir als mit den folgenden Eigenschaften versehen voraussetzen wollen: “eine durch zwei Punkte einer Ebene bestimmte Gerade ist ganz in der Ebene enthalten; zwei Gerade derselben Ebene haben immer einen Punkt gemeinschaftlich”. Wie die Gerade zur Erzeugung der Ebene diente, so kann man die Ebene zur Erzeugung des gewöhnlichen Raumes benutzen, u. s. w. (Erzeugung der linearen Räume durch Projection).
Eine Gerade enthält nach dieser Erklärung gewiss und mindestens zwei Punkte; man wird voraussetzen, dass “jede Gerade mehr als zwei Punkte enthalte”. Nimmt man dann auf einer Geraden drei Punkte \(A\), \(B\), \(C\) beliebig an, so kann man die allgemein bekannte Construction des vollständigen Vierecks anwenden, um aus derselben einen vierten Punkt \(D\) derselben Geraden zu erlangen; \(D\) bildet mit \(A\), \(B\), \(C\) einen “harmonischen Wurf”. Nun folgt aus den vorigen Voraussetzungen in keiner Weise, dass \(D\) verschieden von \(C\) sei; daher ist es notwendig, einen neuen Grundsatz anzunehmen, nach welchem man behaupten kann: “es existirt ein durch vier verschiedene Elemente gebildeter harmonischer Wurf”; in Folge dessen enthält jeder harmonische Wurf vier verschiedene Elemente. Aber man ist noch nicht sicher, dass es unmöglich sei, die Würfe \(ABCD\) und \(ADBC\) zugleich harmonisch anzunehmen. Um diese Möglichkeit im allgemeinen auszuschliessen, ist es notwendig und hinreichend, vorauszusetzen: “es existirt ein harmonischer Wurf \(ABCD\) von solcher Beschaffenheit, dass \(ADBC\) kein harmonischer Wurf ist”.
Man nenne mit De Paolis (Sui fondamenti della geometria projettiva; Lincei Mem. (3) IX. 1880-81) “harmonisches System” die Gesamtheit der Punkte einer Geraden) welche man durch Construction vierter harmonischer Punkte aus drei Punkten derselben (Grundpunkten des Systems) erhalten kann; und “harmonische Reihe” die Gesamtheit der Punkte \(A_k\) einer Geraden, welche man aus drei Punkten \(O\), \(A_1\), \(A_2\) derselben der Reihe nach durch die Bedingung erhält, dass \(OA_{k-1}A_kA_{k+1}\) ein harmonischer Wurf sei. Durch die vorigen Postulate ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass eine harmonische Reihe eine endliche Zahl von Elementen enthalte; daher nimmt der Verf. ferner an: “es existirt keine in sich zurückkehrende harmonische Reihe”; daraus folgt, dass jede harmonische Reihe unendlich viele Elemente enthält. So hat man hinreichende Gründe, um die reelle ganze Variable auf die Gerade auszubreiten; wendet man die Methode an, welche De Paolis a. a. O. gelehrt hat, so kann man dasselbe für die reelle rationale Variable bewirken. Will man aber dasselbe für die reelle allgemeine (rationale oder irrationale) Veränderliche erreichen, so ist es nötig, einen letzten Grundsatz anzunehmen: “jede irrationale Zahl entspricht auf jeder Geraden einem immer eindeutig bestimmten Punkte”.
Durch obige Grundsätze ist die Gerade (und daher auch die aus derselben durch Projectionen ableitbaren linearen Räume) vollständig bestimmt. Dass sie notwendig und unter einander unabhängig seien, folgt aus der Existenz gewisser Punktsysteme, bei denen nur einzelne derselben statt haben. Die vom Verf. begonnene Erforschung dieser sonderbaren Systeme macht sogar den Hauptwert der besprochenen Arbeit aus.

Citations:

JFM 23.0694.02
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