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Lerappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici. (Italian) JFM 24.0640.01
Betrachtet man in einem beliebigen algebraischen Gebilde nicht nur die reellen, sondern auch die complexen Elemente und die reelle Darstellung der letzteren, so erhält man ein neues geometrisches Gebilde, welches nicht nur von dem ursprünglichen, sondern auch von der gewählten Darstellung abhängt und daher unendlich viele Anblicke gewähren kann. Wohl bekannt sind z. B. drei verschiedene reelle Abbildungen der complexen Elemente eines Grundgebildes erster Stufe: hat dieses als Träger eine reelle Gerade, so bekommt man die bekannte Darstellung auf den reellen Punkten einer reellen Ebene; ist der Träger eine imaginäre Gerade zweiter Art, so bekommt man die Staudt’sche Darstellung auf den reellen Geraden einer linearen Congruenz; ist endlich das Grundgebilde eine Regelschar von imaginären Geraden erster Art, so bekommt man die von Riemann endeckte und von C. Neumann entwickelte Darstellung auf den Punkten der Flächer zweiter Ordnung (insbesondere einer Kugelfläche). Die einfachsten Beziehungen, welche zwischen diesen drei Darstellungsweisen statt haben, können leicht durch Projiciren und Schneiden abgeleitet werden. Dieselben Darstellungen (welche der Verf. als Einleitung und Vorbereitung zu seinen eigenen Untersuchungen in Erinnerung bringt) sind einer breiten Verallgemeinerung fähig; zu derselben gelangt man durch Betrachtungen, auf welche wir die Aufmerksamkeit des Lesers lenken; denn sie bilden die Grundlagen des Gebäudes dessen Umrisse zu zeichen wir jetzt versuchen werden.
Man betrachte ein Grundgebilde zweiter Stufe, z. B. eine reelle Ebene \(\pi\). Um die complexen Punkte \(M\) derselben auf einen vierdimensionalen linearen Raum \(R_4\) abzubilden, betrachte man erstens in \(R_4\) die \(\infty^4\) Ebenen \(\mu\), welche durch eine imaginäre Gerade \(r\) zweiter Art gehen, und beziehe dieselben auf die Punkte \(M\) eindeutig. Jede Ebene \(\mu\) wird von ihrer conjugirt imaginären in einem reellen Punkt \(M'\) geschnitten, welcher als Bild von \(M\) angesehen wird. \(M'\) ist im allgemeinen durch \(M\) eindeutig bestimmt; dessen ungeachtet hat dieses eindeutige Entsprechen eine Ausnahme, deren Bestimmung höchst wichtig ist, und welche der Leser in der Originalarbeit selbst findet. Wenn man zweitens als Grundgebilde eine imaginäre Ebene \(\pi\) wählt, so kann man jedem ihrer Punkte die reelle Gerade entsprechen lassen, welche durch ihn geht; die so entstehende Abbildung bietet sich verschiedentlich dar, je nachdem \(\pi\) mit ihrer conjugirt imaginären Ebene \(\pi'\) sich in einer dreidimensionalen Ebene befindet, oder dieselbe in einem oder in keinem Punkte schneidet. In diesem letzteren Falle hat die Abbildung kein Ausnahmeelement, und die Bestimmung ihrer Eigenschaften folgt aus der Untersuchung der Mannigfaltigkeit, welche die Geraden bilden, die die Punkte zweier Ebene von \(R_4\) verbinden (vgl. die Arbeit des Verf., über welche wir im vorigen Bande der F. d. M. 696 berichtet haben, JFM 23.0696.01); sind insbesondere \(\pi\) und \(\pi'\) conjugirt imaginär, so ist die erhaltene Abbildung die natürliche Verallgemeinerung der oben erwähnten Darstellung auf der Riemann’schen oder Neumann’schen Kugelfläche.
Was wir eben über die Gebilde zweiter Stufe sagten, die eine so treue Verallgemeinerung von Bekannten über Gebilde erster Stufe, dass man natürlich angeregt wird, die Ausdehnung weiter zu treiben. Man gelangt auf diese Weise zu drei Abbildungen der Elemente des Gebildes \(n^{\text{ter}}\) Stufe, d. h.: a) Abbildung auf die \(\infty^{2n}\) reellen Punkte eines \(R_{2n}\); b) Abbildung auf \(\infty^{2n}\) reelle Gerade von \(R_n\); c) Abbildung auf die \(\infty^{2n}\) reellen Punkte einer Mannigfaltigkeit der Ordnung \(\binom{2n}{n}\) in \(R_{n(n+2)}\).
Um diese Abbildungen vom projectiven Standpunkte genauer zu charakterisiren, wird der Verf. auf die Aufgabe geführt, die Transformationsgruppe zu bestimmen, welche in dem reellen Bilde \(\varPhi\) eines Gebildes \(F\) den projectiven Transformationen in \(F\) entspricht. Indem er dieselbe auflöst, wird er gezwungen, bei jedem geometrischen Gebilde diejenigen Transformationen zu betrachten, welche er schon neben den Projectivitäten eingeführt und mit dem Namen der “Antiprojetivitäten” (Anticollinationen und Anticorrelationen) bezeichnet hat: die Eigenschaften dieser neuen Verwandtschaft sind vom Unterzeichneten schon beschrieben in dem Berichte über die ältere Arbeit desselben Verf. “Un nuovo campo di recerche geometriche” (F. d. M. XXII. 1890. 609, JFM 22.0609.01). Es möge gestattet sein, die Entwickelungen des Verf. zu übergehen, welche die Antiinvolutionen und die Ketten, die Antipolaritäten, die Hyperkegelschnitte, die Hyperquadrifläche u. s. w. betreffen, da dieselben teils dazu bestimmt sind, die Sätze des oben angeführten “Saggio” zu beweisen, teils den Zweck haben, dieselben auf höhere Räume zu übertragen. - Uebrigens sind diese Resultate nur besondere Fälle anderer sehr allgemeiner, welche die Methoden des Verf. zu erreichen scheinen, wie wir jetzt andeuten wollen. Man betrachte Die Mannigfaltigkeit \(\varPhi\), deren reellen Punkten die Punkte von \(F\) entsprechen, und in \(\varPhi\) eine untergeordnete Mannigfaltigkeit \(\varPhi'\); \(\varPhi'\) wird das Bild einer gewissen Mannigfaltigkeit \(F'\), welche in \(F\) enthalten ist, und deren Eigenschaften aus denen von \(\varPhi'\) abgeleitet werden können: der Verf. wendet diese allgemeine Bemerkung an, um einige Untersuchungen über die Tangenten und den Zusammenhang, die verschiedenen Geschlechter und die Moduln der Mannigfaltigkeiten \(F'\) durchzuführen. Ist \(\varPhi'\) algebraisch oder analytisch, so wird \(F'\) “hyperalgebraisch”, resp. “hyperanalytisch” genannt; die Coordinaten eines Punktes eines hyperalgebraischen Gebildes haben ihre reellen Componenten durch algebraische Gleichungen verknüpft. Als “hyperalgebraische Correspondenzen” in \(F\) nimmt man ferner diejenigen an, welchen in \(\varPhi\) algebraische Correspondenzen entsprechen.
Ausser den Geschlechtern und den Moduln, welche Invarianten in Bezug auf hyperalgebraische Correspondenzen sind, besitzen die hyperalgebraischen Gebilde einige Charaktere, welche projectiv sind, und zu denen man folgendermassen geführt wird. Jede hyperalgebraische Mannigfaltigkeit \(V_r\) ist immer in einer algebraischen Mannigfaltigkeit enthalten, deren complexe Dimension nicht grösser als das Doppelte der reellen Dimension von \(V_r\) sein kann. Verbindet man jeden Punkt von \(V_r\) mit seinem conjugirt imaginären, so erhält man die reellen Punktepaare einer reellen Mannigfaltigkeit von Punktepaaren; je zwei conjugirte Punkte derselben können als entsprechende Punkte in einer gewissen algebraischen Verwandtschaft angesehen werden, welche man zu \(M_k\) “adjungirt” nennen kann. Eine andere analoge Verwandtschaft ist das Erzeugnis der oben mit der “Conjugation” (vgl. F. d. M. XXII. 1890. 610, JFM 22.0609.01). Dies vorausgesetzt, sind die Charaktere von \(M_k\) und diejenigen dieser beiden Verwandtschaften ebensoviele Charaktere von \(V_{r^*}\). Die Entwickelung dieses Gedankens ist in der Originalabhandlung zu finden.
Diese Erklärungen der Charaktere einer hyperalgebraischen Mannigfaltigkeit sind alle unzweifelhaft indirect; will man dieselben in directe Erkärungen umformen, so wird man zu der Unterscheidung unzähliger Fälle genötigt auf Grund der Forderung, dass die Bildgebilde immer reell sein sollen. Da nun dies eine vollkommene Analogie mit dem darbietet, was eintritt, wenn man sich bei den Untersuchungen über algebraische reelle Mannigfaltigkeiten auf reelle Elemente beschränken will, so ist die Frage ganz natürlich, ob man sich nicht helfen kann durch die Betrachtung von Elementen, welche in Bezug auf complexe Elemente etwas Aehnliches vorstellen wie die complexen Elemente in Bezug auf die reellen. Diese Elemente werden in der That vom Verf. mit dem Namen “bicomplexe Elemente” eingeführt und weiter auf eine Weise erklärt, welche an die Staudt’sche Definition der gewöhnlichen complexen Elemente erinnert; endlich zeigt der Verf., wie sie dazu dienen, die oben genannten Ausnahmen zu beseitigen. Wir wollen nur auch noch bemerken, dass die Erforschung der bicomplexen Punkte eines Grundgebildes \(F\) auf die Erforschung der komplexen Punkte zweier Grundgebilde \(F_1\) und \(F_2\) zurückgeführt wird.
Die Einführung der complexen Elemente in die Geometrie entspricht vollständig jener der complexen Zahlen in der Analysis. Der Analogie folgend führt der Verf. die Betrachtung der bicomplexen Zahlen parallel derjenigen der bicomplexen Elemente in die Analysis ein: eine bicomplexe Zahl kann durch \(x_1+ hx_2+ iy_1+ iy_2\) dargestellt werden, wenn \(x_1, x_2, y_1, y_2\) reelle Zahlen, \(i\) und \(h\) zwei verschiedene Wurzeln aus \(-1\) sind. Unter Anwendung einiger Sätze, welche man Gauss, Hankel, Lipschitz, Weierstrass, Schwarz, Dedekind u. a. verdankt, beschäftigt sich neuerdings Herr Segre mit den sogenannten “Nullteilern”, um neue Beweise früherer Resultate zu erhalten.
Betrachtet man das Verfahren aufmerksam, durch welche man von den reellen Elementen zu den complexen und dann zu den bicomplexen gelangt, so wird man gewiss von einer Einförmigkeit betroffen und kommt auf den Gedanken, dass es fernerer Anwendungen fähig sei. Entwickelt man diese Bemerkung, so steigt man zu den tricomplexen Elementen auf, dann zu den quadricomplexen u. s. w.; parallel dazu laufen die tricomplexen, quadricomplexen u. s. w. Zahlen. Der Verf., welcher auf diese Verallgemeinerungen andeutet, verhehlt sich nicht, dass die folgerichtige unermessliche Ausbreitung der ganzen Mathematik zum Verzicht auf die Hoffnung nötigt, von den neuen Elementen einen wirklichen Vorteil zu ziehen; dessen ungeachtet ist er überzeugt, dass “die neuen Elemente nützlich sein können, um das Bekannte zu verallgemeinern und zu vereinfachen und Neues zu erhalten”. Und wir können diesen Bericht nicht besser schliessen als mit dem Wunsche, dass die Zukunft für die rosenfarbigen Voraussagen des Herrn Segre die glänzendste Bestätigung liefere.

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References:
[1] Staudt,Beiträge zur Geometrie der Lage, Vorwort.
[2] Le mie ricerche ivi esposte e quelle (già ivi annunziate) che si troveranno in questa Nota hanno alcuni punti di contatto colla Dissertazione del sig. Juel:Bidrag til den imaginære Linies og den imaginære Plans Geometri (Kjøbenhavn 1885), sebbene fossero fatte indipendentemente da essa. Rammaricando di non esser in grado di farne citazioni più precise, rimando senz’ altro il lettore a quella Dissertazione.
[3] Riemann, Weierstrass, Schwarz, ecc.
[4] Cf. per es0 Staudt,Beiträge, n. 410.
[5] V. ad es0 Stéphanos, Math. Ann. XXII; e Aschieri, Rend1 Ist. Lombardo, ser. 2a, t. XXII (1889).
[6] V. anche Palatini:Sopra una trasformazione delle figure del piano in figure dello spazio a 4 dimensioni, ecc. (Palmi, 1891). · JFM 23.0869.01
[7] Cfr. Chizzoni, Atti Acc. Gioenia (Catania), ser. 3, t. 20 (1888); Loria, e specialmente Pieri, Giornale di mat., ti 27 (1889) e 28 (1890); Schumacher, Math. Ann. t. 37, p. 100.
[8] Rendici Circolo mat. Palermo, t. V (1891).
[9] Come ivi è dichiarato, le antiprojettività nelle forme semplici e le anticollineazioni in quelle doppie erano state studiate prima di me dal sig. Juel nella Dissertazione già citata. V. anche lá Nota dello stesso geometra:Ueber einige Grundgebilde der projectiven Geometrie (Acta mathematica, t. 14, 1890).
[10] V. ad es0 Segre,Le coppie di elementi imaginari nella geometria projettiva sintetica (Memorie Acc. Torino, ser. 2a vol. 38); eNote sur les homographies binaires et leurs faisceaux (Journal für Math., t. 100). V. anche H. Wiener,Ueber geometrische Analysen (Berichte der k. sächs. Ges. t. 42, 1890), pag. 262.
[11] Hirst,On the complexes generated by two correlative planes (Collectanea mathematica in mem. Chelini, pag. 51?73).
[12] Cfr. n. 27.
[13] Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grössen (Gött. Nachr. 1884, pag. 395?419).
[14] I metodi seguiti dai sig1 Weierstrass e Dedekind nello studio dei numeri complessi adn unità furono ampiamente esposti (con aggiunte) dal sig. Berloty nella sua Tesi ?Théorie des quantités complexes à n unités principales (Gauthier-Villars 1886). Inoltre ad essi è dedicato il 1o Capo della 2a Parte delleVorlesungen über allgemeine Arithmetik del sig. Stolz (Teubner 1886). ?Dopo gli scritti citati si ha una serie molto recente e già ampia di lavori tedeschi (Schur, Study, Scheffers, ecc.) che studiano i sistemi di numeri complessi collegandoli con le teorie del Lie dei gruppi di trasformazioni. [V. del resto più complete e precise citazionit alla fine del nuovo lavoro del sig. Scheffers, Math. Ann. 39, p. 388].
[15] V.Lectures on Quaternions (Dublin 1853), ni 637, 644; oppureElements, n. 214. ? Più recentemente la denominazione di ?biquaternione? è stata usata, ad eso dal Clifford, in un altro senso.
[16] Questa rappresentazione del punto imaginario (x, y) di un piano ? mediante i due punti reali (X, Y), (X?, Y?) di ? stesso è già usata in sostanza nel Trattato di Mac-Laurin delle curve geometriche (cfr. la parte che ne è riportata neiMélanges de géométrie pure del De Jonquières, a pag. 199, 203, 222), ? ove però, trattandosi delle coppie di punti imaginaridi una data retta, si adopera uno solo di quei due punti reali ?; e si ritrova poi, com’è noto, in vari geometri moderni.
[17] Cfr. anche, per quanto riguarda il caso attuale, Lipschitz, loc. cit.
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