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Einige allgemeine Sätze über die einfachsten Gestalten ebener Curven. (German) JFM 24.0650.01
Kriterien für die Existenz einer gemeinsamen Tangente oder eines Schnittpunktes zweier nirgends singulären Bogen, sowie für die Anzahl Tangenten, die bei einem von ihnen durch einen beliebigen Punkt gehen, liefern u. a. folgende Sätze. Durch den einen Endpunkt eines nirgends singulären Bogens geht, ausser seiner, keine weitere Tangente; durch die des anderen wird der Bogen nicht wieder getroffen. Schneidet die Tangent des ersteren den Bogen noch in \(m\) Punkten, so gehen durch den letzteren ausser seiner eigenen noch \(m\) Tangenten. Für \(m>0\) heisst der erstere Eckpunkt “innerer”, der letzterer “äusserer”. Gerade, die mit einem nirgends singulären Bogen gleich viele Punkte gemein haben, bilden ein einzigen Continuum. Gehen durch den äusseren Eckpunkt ausser seiner Tangente noch \(m\) andere des Bogens, so hat er mit einer Geraden höchstens \(m+2\) Punkte gemein. Gerade, die ihn in irgend einer geringeren Anzahl Punkte schneiden, sind ebenfalls vorhanden. Einige geschlossene, nirgends singuläre Curve schneidet eine Gerade höchstens in zwei Punkten, und durch einen beliebigen Punkt gehen höchstens zwei Tangenten. Ein Bogen, dessen Singularitäten nur Doppelpunkte oder Doppeltangenten sind, ist auf mannigfaltige Weise in zwei nirgends singuläre Teile zu zerlegen. Die Doppentangenten und Doppelpunkte sind gemeinsame Tangenten und Punkte der beiden Teilbogen. Geschlossene Curven können niemals Doppelpunkte oder Doppeltangenten allein zu Singularitäten haben. Geschlossene Curven mit einem Doppelpunkte oder einer Doppeltangente haben, wenn sie sonst keine anderen Singularitäten aufweisen, nur diese Doppeltangente und diesen Doppelpunkt. Beweise der Möbius’schen Sätze über die Wendepunkte geschlossener Curvenzüge vervollständigen den ersten Teil der Untersuchung; was folgt, beruht auf der Vergleichung zweier Bogen, die durch stetige Deformation aus einander hervorgehen. Doppeltangenten bleiben hierbei erhalten, so lange sie getrennte Berührungspunkte haben. Die Deformation einer Curve in der Umgebung eines Selbstberührungspunktes ändert die Zahl der Doppeltangenten um zwei; das Gleiche tritt ein, wenn bei Deformation einer Curve eine Wendetangente noch ausserhalb ihres Wendepunktes in einem nicht singulären Punkte berührt. Treten bei Deformation eines anfangs von Singularitäten freien Bogens zwei Wendepunkte auf, die aus unendlicher Nähe aus einander rücken, so tritt gleichzeitig eine Doppentangente auf. Bestehen die Singulartäten eines paaren Zuges aus \(2{\mathfrak w}\) Wendepunkten und \({\mathfrak d}\) Doppeltangenten, so gilt \({\mathfrak d}\equiv {\mathfrak w}(\text{mod.\,}2)\); die gleiche Bedingung besteht für einen unpaaren Zug mit \(2{\mathfrak w}+3\) Wendepunkten und \({\mathfrak d}\) Doppeltangenten, dem weitere Singulartäten mangeln.

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