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Über Singularitäten verschiedener Ausnahme-Ordnung und ihre Zerlegung. (German) JFM 24.0661.01

Der Grundgedanke der Arbeit besteht darin, dass der Verfasser die durch Gleichungen mit unbestimmten Coefficienten definirten Flächen, Curven oder sonstigen geometrischen Gebilde sich als in stetiger Deformation begriffen vorstellt und diese Deformation so einrichtet, dass dabei das Auftreten von Singularitäten höherer als der ersten Ordnung stets vermieden wird. Ist das geometrische Gebilde durch \(s\) Coordinaten \(x_1,\dots, x_s\) definirt, so bestimmt jedes System \(\varphi_1= 0,\dots, \varphi_m=0\) von \(m\) Gleichungen eine \((s-m)\)-fache Mannigfaltigkeit solcher Gebilde. Treten in den Functionen \(\varphi_1,\dots, \varphi_m\) neben den Coordinaten \(x_1,\dots, x_s\) noch \(r\) Parameter \(p_1,\dots, p_r\) auf, so entspricht jedem gegebenen Wertsystem der Parameter eine bestimmte Mannigfaltigkeit. Wenn nun eine an diesen Mannigfaltigkeiten auftretende Singularität durch \(q\) Beziehungen zwischen den Parametern \(p_1,\dots, p_r\) bedingt ist, so wird dieselbe vom Verfasser eine Singularität der \(q^{\text{ten}}\) Ausnahmeordnung genannt. Bei der Anwendung der angedeuteten Methode ist offenbar vor allem die Kenntnis der Singularitäten erster Ausnahmeordnung der betreffenden Mannigfaltigkeiten notwendig. Der Verfasser erläutert seine allgemeinen Betrachtungen an einer grösseren Anzahl von Beispielen aus der Curven- und Flächentheorie.
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References:

[1] Man vergleiche z. B. die ?Beiträge zur Analysis situs? des Herrn Walther Dyck, Math. Annalen 32, S. 457 (1888) und 37, S. 273 (1890), wo sich in der Einleitung eine ausgebreitete Literaturangabe verwandter Untersuchungen vorfindet, von welchen besonders die von Kronecker ?Ueber die Charakteristik von Functionen-Systemen? zu nennen sind, weil diese Theorie, wie aus den genannten ?Beiträgen? hervorgeht, von grosser Bedeutung für die von uns insbesondere in § 3 betretenen Gebiete zu werden verspricht. · JFM 20.0519.04
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