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Ueber die in der Theorie der Flächen auftretenden Differentialparameter. (German) JFM 24.0713.01
Der Verfasser giebt in der Einleitung den Inhalt seiner Arbeit etwa in folgender Weise an.
Ist \(\varphi(p,q)= \text{const.}\) die Gleichung eines Systems von Curven auf der Fläche, und \(\delta n\) das vom Punkte \(p\), \(q\) ausgehende Linienelement der Fläche, welches zu der durch \(p\), \(q\) gehenden Curve normal ist, so ist nach Herrn Beltrami \((\frac{\delta\varphi} {\delta n})^2\) der quadratische Differentialparameter. Construirt man nun in der Richtung von \(\delta n\) die Strecke von der Grösse \(\frac{\delta\varphi} {\delta n}\), so sind ihre Axencomponenten drei lineare Differentialparameter, welche der Verfasser mit \(\varDelta_x \varphi\), \(\varDelta_y \varphi\), \(\varDelta_2 \varphi\) bezeichnet, und deren Untersuchung den Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit bildet. Sind ferner \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) die Richtungscosinus der Normale der Fläche im Punkte \(p\), \(q\), so dass der Punkt \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) die Abbildung dieses Punktes auf die Einheitskugel ist, so kann man für die Kugelfläche drei analoge Differentialparameter bilden: \(\varDelta_\xi \varphi\), \(\varDelta_\eta \varphi\), \(\varDelta_\zeta \varphi\). Den drei quadratischen Formen von \(dp\) und \(dq\): \[ \varSigma \,dx^2, \quad \varSigma \,dx\,d\xi, \quad \varSigma \,d\xi^2, \] entsprechen dann drei lineare Differentialparameter, welche sich in die Form bringen lassen: \[ \varSigma\varDelta_x \varphi\varDelta_x\psi, \quad \varSigma\varDelta_x \varphi\varDelta_\xi\psi= \varSigma\varDelta_\xi \varphi\varDelta_x\psi, \quad \varSigma\varDelta_\xi \varphi\varDelta_\xi\psi, \] während die drei quadratischen Differentialparameter die Gestalt annehmen: \[ \varSigma\varDelta_x^2\varphi, \quad \frac{1}{\sqrt{k}} \varSigma\varDelta_x (\sqrt{k} \varDelta_\xi\varphi)= \sqrt{k} \varSigma\varDelta_\xi \biggl( \frac{1}{\sqrt{k}} \varDelta_x \varphi\biggr), \quad \varSigma\varDelta_\xi^2 \varphi, \] wo \(k\) das Krümmungsmass ist. Der bilinearen Form \(\varSigma\pm \xi\,dy\,d\zeta\) endlich, welche in der Theorie der Krümmungslinien auftritt, entspricht der bilineare Differentialparameter \(\varSigma\pm \xi\varDelta_y \varphi\varDelta_\zeta \psi\) und zwei verschiedene Differentialparameter zweiter Ordnung: \(\varSigma\pm \xi\varDelta_\eta (\varDelta_x \varphi)\), \(\varSigma\pm \xi\varDelta_y (\varDelta_\xi\varphi)\), von denen der erste für \(\varphi= x,y,z\) und \(\varSigma x^2\) verschwindet, der zweite für \(\varphi=\xi,\eta,\zeta\) und \(\varSigma x\xi\). Nachdem die Beziehungen zwischen diesen verschiedenen Differentialparametern erforscht sind, benuzt der Verfasser die erhaltenen Resultate zur Aufstellung der Differentialgleichung dritter Ordnung, welcher der Parameter einer Flächenschar genügen muss, damit dieselbe einem Orthogonalsystem angehöre, und zur Entwickelung der Bedingung der Isometrie der Krümmungslinien. Auch werden die Beziehungen der eingeführten Differentialparameter zum Krümmungsmass und zur geodätischen Krümmung untersucht.
MSC:
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
Subjects:
Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. A. Allgemeine Theorie der Flächen und Raumcurven.
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Full Text: Crelle EuDML