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Sur des surfaces dont les lignes de courbure s’obtiennent par quadratures. (French) JFM 24.0721.01
Wählt man auf einer Fläche zu Parametern \(\alpha\) und \(\beta\) diejenigen imaginären Linien, deren sphärische Abbildungen die imaginären Geraden der Kugel sind, so wird nach O. Bonnet die Gleichung der Tangentialebene \[ (\alpha+\beta)x+ i(\beta-\alpha)y+ (\alpha\beta-1)z+ \xi=0, \] und wenn man setzt \[ r= \frac{\partial^2\xi}{\partial \alpha^2}, \qquad t= \frac{\partial^2\xi}{\partial \beta^2}, \] so ist die Gleichung der Krümmungslinie \(rd\alpha^2- td\beta^2=0\).
Ist dann \(rt= f(s)\), wo \(ds^2= rd\alpha^2- td\beta^2\) ist, so zeigt sich, dass für alle Flächen, die der Gleichung genügen \[ rt=f(s), \] die Krümmungslinien sich durch Quadraturen bestimmen lassen. Hieran werden noch einige weitere Ausführungen geknüpft.
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Full Text: DOI Numdam EuDML