Sur la valeur de la courbure totale d’une surface aux poitns d’une arête de rebroussement. (French) JFM 24.0722.03

Stouff, X.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) IX, 91-100 (1892).

Eine Fläche \(S\) mit einer Rückkehrkante kann aufgefasst werden als erzeugt von einer Schar Curven, die jene Rückkehrkante einhüllen. Die analytische Darstellung kann folgendermassen geschehen. Sei 1) \(\varphi(x,y,z,a)=0\) die Gleichung einer mit dem Parameter \(a\) variirenden Fläche; dann bestimmt 2) \(\frac{\partial\varphi} {\partial\alpha}=0\) den Durchschnitt dieser Fläche mit der consecutiven, also eine Curve der die zu betrachtende Fläche \(S\) erzeugenden Curvenschar, und 3) \(\frac{\partial^2\varphi} {\partial\alpha^2}=0\), auf dieser den zugehörigen Punkt der Rückkehrkante. Sind \(R\) und \(R'\) die Hauptkrümmungsradien der Fläche \(S\), so bestimmt sich das Krümmungsmass durch die Gleichung \[ \frac{(\varphi_1^2+ \varphi_2^2+ \varphi_3^2)^2} {R.R'}= \left| \begin{matrix} \l &\quad\l &\quad\l &\quad\l\\ 0 &\varphi_1 &\varphi_2 &\varphi_3\\ \varphi_1 &\varphi_{1,1} &\varphi_{1,2} &\varphi_{1,3}\\ \varphi_2 &\varphi_{1,2} &\varphi_{2,2} &\varphi_{2,3}\\ \varphi_3 &\varphi_{1,3} &\varphi_{2,3} &\varphi_{3,3} \end{matrix} \right|+ \frac{F(\xi,\eta,\zeta)} {\frac{\partial^2\varphi}{\partial\alpha^2}}, \] wo \(\varphi_1= \frac{\partial\varphi} {\partial x}\) etc. \(\varphi_{1,1}= \frac{\partial^2\varphi} {\partial x^2}\) u. s. w. ist, während \[ F(\xi,\eta,\zeta)= \varphi_{1,1} \xi^2+\varphi_{2,2} \eta^2+ \varphi_{3,3}\zeta^2+ 2\varphi_{2,3} \eta\zeta+ 2\varphi_{3,1} \zeta\xi+ 2\varphi_{1,2} \xi\eta \] und \[ \xi=\varphi_2 \frac{\partial\varphi_3} {\partial\alpha}- \varphi_3 \frac{\partial\varphi_2} {\partial\alpha}, \quad\text{u. s. w.} \] Hieraus folgt, dass für die Punkte der Rückkehrkante das Krümmungsmass im allgemeinen gleich Null ist (d. h. wenn nicht \(F=0\) ist). Ist aber \(F=0\), so findet der Hauptausnahmefall statt. Das Krümmungsmass bleibt endlich, und längs der Rückkehrkante ist die Tangentialebene der Fläche die Schmiegungsebene der Rückkehrkante. Es werden für diesen Ausnahmefall noch weitere Beziehungen aufgesucht.
Unter den Flächen, die diesen Ausnahmefall bilden, sind besonders interessant die Krümmungsmittelpunkts-Flächen (Centraflächen) der Minimalflächen.

Reviewer: August, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. A. Allgemeine Theorie der Flächen und Raumcurven.