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Sur la cyclide de Dupin. (French) JFM 24.0771.01

Die Dupin’sche Cyklide ist bekanntlich die Eingehüllte einer Schar von Kugeln, welche drei Kugeln berühren, und sie wird noch von einer zweiten Schar von Kugeln berührt, zu denen jene drei Kugeln gehören. Die Coincidenzlinien jeder dieser Kugelscharen sind Kreise, und zwar sind diese Kreise die Krümmungslinien der Cyklide.
Nimmt man die umgekehrten Werte der Hauptkrümmungsradien zu Parametern, so lässt sich die Cyklide folgendermassen darstellen: \[ x= \frac{b^2- ka^2u+ k(a-b)^2} {a\sqrt{a^2-b^2(u-v)}}, \quad y= \frac{b}{u-v} \sqrt{a^2- \frac{(1-ku)^2} {a^2-b^2}}, \quad z=- \frac{b}{u-v} \sqrt{-b^2+ \frac{(1-kv)^2} {a^2}}. \] Die Differentialgleichung der asymptotischen Linien wird \[ \frac{du^2} {u[(a^2-b^2)u^2- (1-ku)^2]}= \frac{dv^2} {v[-a^2v^2+ (1-kv)^2]}. \] An die Entwickelung dieser und ähnlicher Formeln wird der Beweis eines Satzes von Bonnet geknüpft: Wenn die Krümmung jeder Krümmungslinie einer Fläche constant ist, so ist die Fläche eine Dupin’sche Cyklide.
Die Mittelpunktsflächen der Cyklide sind bekanntlich in zwei confocale Kegelschnitte degenerirt, deren Ebenen auf einander senkrecht stehen, nämlich in die Orte der Mittelpuntke der beiden einhüllenden Kugelscharen. Die Mittelfläche derselben, d. h. der Ort der Mitten der Verbindungslinien irgend zweier Punkte dieser confocalen Kegelschnitte, ist eine Translationsfläche, welche durch Translation von zwei Kegelschnittscharen entsteht. Nach bekannten Sätzen lässt sich schliessen, dass diese Fläche durch Orthogonalität der Elemente der adjungirten Fläche einer Bonnet’schen Minimalfläche mit ebenen Krümmungslinien entspricht. Errichtet man ferner in der Mitte jeder Verbindungslinie der beiden confocalen Kegelschnitte eine darauf lotrechte Ebene, so umhüllt diese Ebene eine Fläche, die der Verfasser die mittlere Abgewickelte nennt. Diese Fläche hat mit der Dupin’schen Cyklide selbst gleiche sphärische Darstellung, und daraus folgt, dass alle ihre Krümmungslinien eben sind.
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Full Text: Numdam EuDML