On polarization by diffraction. (Sur la polarisation par diffraction.) (French) JFM 24.0999.01

Poincaré, H.

Acta Math. 16, 297-339 (1892).

Der Zweck der vorliegenden Arbeit ist, theoretisch die Gesetze abzuleiten, welche Gouy in den Jahren 1883-1885 [C. R. XCVI-CI, Annal. de chimie (6) VIII] hinsichtlich der Polarisation des an einem Schirme mit einfachem Rande gebeugten Lichtes experimentell gefunden hatte. Zur Vereinfachung der Rechnung wird angenommen, dass der Schirm eine scharfe Kante habe, in der zwei Ebenen zusammenstossen, die einen unendlich kleinen Winkel bilden; ferner dass das Licht durch eine Cylinderlinse gegangen ist, deren Brennlinie mit der erwähnten Kante zusammenfällt; endlich dass der Schirm im Sinne der elektromagnetischen Lichttheorie ein vollkommener Leiter ist.
Ist das einfallende Licht in der Diffractionsebene polarisirt, so ist der Vector der Aetherschwingung, welcher der elektrischen Kraft entspricht, der Kante, welche zur \(z\)-Axe genommen wird, parallel; und da es sich um Cylinderwellen handelt, gilt für diesen Vector die Gleichung: \[ (1)\qquad V^2\left(\frac{\partial^2Z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2Z}{\partial y^2}\right)=\frac{\partial^2Z}{\partial t^2} \] mit der aus den obigen Annahmen folgenden Nebenbedingung: \[ Z = 0\quad \text{für}\quad \omega = 0\quad \text{und}\quad \omega = 2\pi, \] falls \(\varrho\), \(\omega\) Polarcoordinaten in der \(xy\)-Ebene sind. Der Winkel an der Schirmkante ist dabei gleich Null angenommen.
Setzt man in (1) \[ Z= Z' \cos pt+Z''\sin pt,\;p = \alpha V, \] so ergeben sich für \(Z\) und \(Z'\) Reihen der Form \[ Z'=\varSigma g_n I_{\frac n2} (\alpha\varrho) \sin\, \frac{n\omega}{2}\,, \] wobei die Summation über alle ganzen Zahlen \(n\) auszudehnen ist. Wird für die Bessel’sche Function \(I_{\frac n2}(\alpha\varrho)\) die bekannte Näherungsformel gesetzt und der Zeitfactor mit den Constanten \(g_n\) vereinigt, so erhält man \[ (6)\qquad Z =\varSigma A_n \sqrt{\frac{2}{\alpha\pi\varrho}} \cos \left(\alpha\varrho-\frac{n+1}{4}\pi\right)\sin\,\frac{n\omega}{2}\,, \] wo \(A_n\) eine lineare Function von \(\cos pt\) und \(\sin pt\) mit constanten Coefficienten ist.
Die durch (6) dargestellte Bewegung ist die Resultante von drei Bewegungen, deren erste den direct von der Lichtquelle kommenden Wellen angehört, die zweite den reflectirten, die dritte den gebeugten Wellen. Für die durch das directe Bündel hervorgebrachte Bewegung kann man setzen \[ (7)\qquad Z=\sqrt{\frac{2}{\alpha\pi\varrho}}\;\cos\left(\alpha\varrho-\frac\pi 4+pt\right)\varSigma B_n\sin\,\frac{n\omega}{2}\,, \] die den beiden anderen Bündeln entsprechende Bewegung hat dann die Form \[ (8)\qquad Z=\sqrt{\frac{2}{\alpha\pi\varrho}}\left\{\cos\left(\alpha\varrho + \frac\pi 4-pt\right)\varSigma C_n\sin\;\frac{n\omega}{2}+\sin\left(\alpha\varrho-\frac\pi4-pt\right)\varSigma D_n\sin\frac{n\omega}{2}\right\}. \] Damit die Summe der Ausdrücke (7) und (8) mit der Form (6) identisch wird, müssen zwischen den Coefficienten \(B\), \(C\), \(D\) gewisse Beziehungen bestehen, z. B. \[ B_n = C_n,\quad D_n = 0,\quad \text{wenn}\quad n\equiv 0 \;(\text{mod.\,4)\;etc.\;etc.} \] Nimmt man nun weiter an, dass der einfallende Lichtbündel zwischen den beiden Ebenen \(\omega=\beta\) und \(\omega=\beta_1\) liegt, so ist \[ f(\omega)=\Sigma B_n\sin\,\frac{n\omega}{2} \] für Werte von \(\omega\) zwischen \(\beta\) und \(\beta_1\) gleich 1, während \(f(\omega)\) für alle übrigen \(\omega\) verschwindet. Diese Annahme führt in Verbindung mit den vorher erwähnten Beziehungen zwischen \(B_n\), \(C_n\), \(D_n\) zu dem schliesslichen Resultat, dass die gesamte Aetherbewegung die Form haben muss \[ (11) \qquad Z\sqrt{\frac{\pi\alpha\varrho}{2}}=f_1(\omega)\cos\left(\alpha\varrho-\frac\pi4\right)+\psi_1(\omega)\cos\left(\alpha\varrho-\frac\pi4-pt\right)+\psi_2(\omega)\sin\left(\alpha\varrho-\frac{\pi}{4}-pt\right). \] Darin hat \(f_1(\omega)\) die Form \[ f_1(\omega)=\frac{f(\omega)+f(\omega+2\pi)}{2}=\varSigma B_{2n}\sin n\omega. \] Ferner ist \[ \psi_2(\omega)=\frac{1}{2\pi}\log\left(\frac{\text{tang}\frac{\omega-\beta+\pi}{4}\,\text{tang}\,\frac{\omega+\beta_1-\pi}{4}}{\text{tang}\frac{\omega-\beta_1+\pi}{4}\;\text{tang}\;\frac{\omega+\beta-\pi}{4}}\right). \] Ferner stellt das dritte Glied der rechten Seite von (11) das gebeugte Licht dar. Die Intensität des letzteren ist also dem Quadrate von \(\psi_2(\omega)\) proportional.
Eine ähnliche Untersuchung wie für das in der Beugungsebene wird weiter auch für das senkrecht zu jener Ebene polarisirte Licht durchgeführt. In diesem Falle ist der der magnetischen Kraft entsprechende Lichtvector der Schirmkante parallel, und für diesen Vector \(\gamma\) gilt dieselbe Differentialgleichung wie oben für \(Z\); nur sind hier die Grenzbedingungen: \[ \frac{\partial\gamma}{\partial\omega}=0\quad \text{für}\quad \omega=0\quad \text{und}\quad \omega=2\pi. \] Für \(\gamma\) ergiebt sich ein Ausdruck von derselben Form wie (11); nur tritt in den Reihen für \(f_1\) und \(\psi_1\) Cosinus an Stelle von Sinus, und \(\psi_2(\omega)\) hat jetzt den Wert: \[ \overline{\psi}_2(\omega)=\frac{1}{2\pi}\log\left(\frac{\text{tang} \frac{\omega-\beta+\pi}{4}\,\text{tang}\,\frac{\omega+\beta-\pi}{4}}{\text{tang}\frac{\omega-\beta_1+\pi}{4}\;\text{tang}\;\frac{\omega+\beta_1-\pi}{4}}\right). \] Aus dem Verhältnis der beiden Ausdrücke für \(\psi_2(\omega)\) und \(\overline{\psi}_2(\omega)\) ergiebt sich der Polarisationszustand des gebeugten Lichtes. Dies Verhältnis wird speciell unter der Annahme näher untersucht, dass \(\beta_1-\beta\) so klein ist, dass man die Quadrate dieser Grösse vernachlässigen kann.
Nachdem noch gezeigt ist, dass sich die Resultate nicht wesentlich ändern, wenn der Winkel an der Schirmkante nicht als unendlich klein angenommen wird, wird erörtert, welchen Einfluss auf das Resultat die der Rechnung zu Grunde gelegte Annahme hat, dass der Schirm ein vollkommener Leiter ist, und dass in Folge dessen nur elektrische Schwingungen senkrecht zu dem Schirme möglich sind. Will man diese Annahme, deren Zulässigkeit Bedenken erregt, nicht machen, so muss man auch noch die elektrische resp. magnetische Bewegung in dem Schirme betrachten nebst den Bedingungen für den Grenzübergang. Die erforderlichen Rechnungen werden nicht soweit durchgeführt, um die im Resultat eintretenden Aenderungen numerisch auswerten zu können; der Verfasser begnügt sich vielmehr damit, zu untersuchen, welcher Art im allgemeinen die Aenderungen sind, welche der neue Ansatz mit sich führen würde. Die genauere Durchführung dieser Rechnung wird einer späteren Arbeit vorbehalten.

Reviewer: Wangerin, Prof. (Halle a. S.)

JFM Section:

Elfter Abschnitt. Mathematische Physik. Capitel 2. Akustik und Optik. B. Theoretische Optik.