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New methods in celestial mechanics. Vol. I. Periodic solutions. Nonexistence of uniform integrals. Asymptotic solutions. (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Tome I. Solutions périodiques. Non-existence des intégrales uniformes. Solutions asymptotiques.) (French) JFM 24.1130.01
Paris: Gauthier-Villars et Fils. 385 p. gr. \(8^\circ\) (1892).
Nach einer Einleitung von 5 Seiten behandelt der Verf. in sieben Capiteln der Reihe nach: Allgemeines und die Jacobische Methode, Integration durch Reihen, periodische Lösungen, charakteristische Exponenten, Nichtexistenz der eindeutigen Integrale, angenäherte Entwickelung der Störungsfunction, asymptotische Lösungen; wohlverstanden alles in Bezug auf das Dreikörperproblem, mit dem sich das Werk ausschliesslich beschäftigt, und für dessen erfolgreiche Bearbeitung in der Schrift “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique” der Verf. den schwedischen Preis erhalten hatte. Das in JFM 22.0907.01 gegebene ausführliche Referat über diese Arbeit giebt eine gute Vorstellung von den treibenden Gedanken des Herrn Poincaré; wir vervollständigen hier jenes Bild nach den von ihm selber in der Einleitung angegebenen Gesichtspunkten.
Wesentlich für die Herstellung genauerer Formeln, als die bisher gebräuchlichen Annäherungsformeln geliefert haben, ist die Fortschaffung der säcularen Glieder, bei denen die Zeit ausserhalb der Sinus- und Cosinusglieder der Reihen auftritt. Diese Aufgabe wurde in der zweiten Hälfte unseres Jahrhunderts in Angriff genommen, zuerst von Delaunay, dann von G. W. Hill im [Am. J. Math. 1, No. 1, 5–27 (1878); 1, No. 2, 129–148 (1878); 1, No. 3, 245–251 (1878; JFM 10.0782.02)], mit endlichem Erfolge von Herrn Gyldén durch eine von ihm ersonnene Methode, die in vielen Fällen durch eine bedeutend einfachere von Herrn Lindstedt ersetzt werden kann.
Die meisten dieser neuen Entwickelungen sind jedoch nicht convergent, sondern geben nur in ihren ersten Gliedern sehr gute Annäherungen. “Das Ziel der Mechanik ist nicht erreicht, wenn man mehr oder weniger angenäherte Ephemeriden berechnet hat, ohne sich von dem Grade der erreichten Annäherung Rechenschaft abzulegen. Wenn man nämlich zwischen diesen Ephemeriden und den Beobachtungen eine Abweichung feststellt, so muss man erkennen können, ob das Newtonsche Gesetz versagt, oder ob alles sich durch Unvollkommenheiten der Theorie erklären lässt. Es ist also bedeutsam, eine obere Grenze des begangenen Fehlers zu bestimmen, womit man sich vielleicht bislang noch nicht genug abgemüht hat. Nun geben aber die Methoden, welche die Discussion der Convergenz ermöglichen, zugleich auch jene obere Grenze. Daher braucht man sich nicht über den Raum zu wundern, den ich ihnen in diesem Werke zugebilligt habe. …Diese Strenge allein giebt meinen Sätzen über die periodischen, asymptotischen und doppelt asymptotischen Lösungen einigen Wert.” In diesem ersten Bande hat sich der Verf. auf die Erforschung der periodischen Lösungen erster Art beschränkt, auf den Beweis der Nichtexistenz der eindeutigen Integrale, sowie auf die Darstellung und Erörterung der Lindstedtschen Methoden. Das Ganze soll “eine Art Synthese der meisten neueren, jüngst vorgeschlagenen Methoden” vorstellen.

MSC:
70F15 Celestial mechanics
70-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to mechanics of particles and systems
37N05 Dynamical systems in classical and celestial mechanics
34C25 Periodic solutions to ordinary differential equations
34E05 Asymptotic expansions of solutions to ordinary differential equations