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Number theory. Part II: Analytic number theory. (Zahlentheorie. II. Teil. Die analytische Zahlentheorie.) (German) JFM 25.0249.02
Leipzig: B. G. Teubner. xviii, 494 S. \(8^\circ\) (1894).
Wegen des ersten Teiles dieses grossen Unternehmens s. JFM 24.0160.01.
Der vorliegende zweite Teil behandelt von den Anwendungen der Analysis auf die Zahlentheorie im großen und ganzen das, was sich an die “Dirichlet’schen Reihen” anschließt.
Der erste Abschnitt geht auf einige fundamentale Anwendungen ein, welche im wesentlichen schon Euler von unendlichen Reihen und Producten gemacht hat.
Die Reihe \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s}\) convergirt unbedingt, sobald der reelle Teil der complexen Größe \(s\) größer als Eins ist. Dieselbe Reihe läßt sich auch in die Gestalt des über alle Primzahlen \(q\) erstreckten Productes \(\prod(1:1-q^{-s})\) bringen.
Zwei entsprechende Sätze gelten dann auch für die Reihe \(Z(s)=\sum\fracwithdelims()Dn\frac1{n^s}\), wo \(\fracwithdelims()Dn\) das Jacobische Symbol bedeutet.
Die Umformung einer derartigen Reihe in ein Product wird hier auf einen sehr allgemeinen Satz basirt, den wohl zuerst Dedekind aufgestellt hat.
Eine andere Gattung von Sätzen, über Zerfällungen von ganzen Zahlen in Summanden, die gleichfalls auf Euler zurückgehen und später von Gauss, Jacobi u. a. weiter verfolgt sind, finden ihre Berücksichtigung im folgenden Abschnitt. Sie beruhen auf der Entwickelung des Productes \(P=(1+x_1z)(1+x_2z)(1+x_3z)\dots\), ferner von \(\frac1P\) und ähnlichen, insbesondere auf der (innerhalb eines gewissen Intervalles von \(z\)) gleichmäßigen Convergenz der daraus hervorgehenden Reihen, andererseits auf der Untersuchung der Anzahl nicht negativer ganzzahliger Auflösungen von denselben zwei diophantischen Gleichungen, die auch die abzählende Invariantentheorie beherrschen.
Der dritte Abschnitt, über die Dirichlet’schen Reihen, ist als Kern des Ganzen anzusehen. Der Verf. knüpft an die historische Entwickelung des quadratischen Reciprocitätsgesetzes an, die von selbst zu der wichtigen Frage führte, “ob eine arithmetische Progression, deren Anfangsglied und deren Differenz zwei relativ prime ganze Zahlen sind, stets eine Primzahl enthält oder nicht.” Legendre hatte die Frage bejaht, aber nur auf dem Wege der Induction; erst Dirichlet gelang der vollständige Beweis auf Grund der nach ihm benannten Reihen \(S(s)=\sum\frac{a_n}{c_n^s}\), wo \(c_n\) eine positive, mit \(n\) unendlich wachsende Größe bedeutet, die \(a\) complexe Größen sind, und \(s\) reell und positiv ist.
Es gelangt zunächst ein Princip von Abel zur Anwendung, das von der gleichmäßigen Convergenz einer Reihe, deren Glieder stetige Functionen von \(s\) sind, auf ihre Stetigkeit schließt; für die vorliegenden Reihen trifft das zu, sobald die Summe \[ A_n = a_1 + a_2 +\cdots+ a_n \] bei unendlich wachsendem \(n\) endlich bleibt.
Die oben erwähnte Reihe \(Z(s)\) bietet ein wichtiges Beispiel dar; hier ergiebt sich die fruchtbare Folgerung, daß \[ \lim_{\varrho=0}Z(1+\varrho) = Z(1) \] wird, wobei besonders zu beachten ist, dass die Reihenfolge der Glieder linker Hand ganz willkürlich ist, während rechts durchaus die natürliche Reihenfolge der Zahlen \(n\) einzuhalten ist.
Dirichlet hat insbesondere Reihen von der Form \(K=\sum \frac1{k_n^{1+\varrho}}\) untersucht, wo die \(k_0\), \(k_1, \dots\) positive, mit \(n\) beliebig wachsende und der Größe nach geordnete Constanten sind. \(K\) ist für jedes positive \(\varrho\) convergent, und \(\lim_{\varrho=0}(\varrho K)\) ist ein bestimmter Grenzwert \(w\), der in den wichtigen Specialfall \(k_n=b+na\) (\(b\), \(a\) positiv) den Wert \(\frac1a\) annimmt. Umgekehrt hat Dirichlet auf diesen Specialfall den Beweis des allgemeinen Satzes begründet.
Mit Hülfe dieser Reihen konnte Dirichlet zeigen, daß in der That eine arithmetische Progression von der oben angegebenen Beschaffenheit unendlich viele Primzahlen enthält. Es ist interessant, daß sich schon bei Euler ein ähnlicher Gedankengang vorfindet, um die Existenz von unendlich vielen Primzahlen zu erschließen. Lässt man nämlich in der anfangs mitgeteilten Gleichheit \[ \prod_q(1:1-q^{-s}) = \sum_n n^{-s} \] die Größe \(s\) gegen Eins convergiren, so würde, die Endlichkeit der Anzahl aller Primzahlen vorausgesetzt, das Product endlich bleiben, die Summe aber nicht.
Für den vorliegenden Fall tritt an die Stelle der Summe \(\sum n^{-s}\) die andere: \(\sum\chi(n)n^{-s}\) und an die des entsprechenden Productes \(\prod(1:1-\chi(q)q^{-s})\), wo \(\chi(n)\) ein sogenannter “Charakter” der Zahl \(n\) ist. Diese Charaktere zerfallen in verschiedene Klassen, und je nachdem gestaltet sich der Beweis sehr verschieden.
Die hiermit angedeuteten Dirichletschen Principien sind, wie Dedekind und Kronecker weiter ausgeführt haben, grundlegend für die ganze Zahlentheorie überhaupt. Der Verf. behandelt in diesem Sinne in einigen weiteren Abschnitten die beiden Hauptprobleme aus der Theorie der binären quadratischen Formen die Bestimmung der Klassenanzahl und der Geschlechteranzahl.
Der Kernpunkt bei dem ersteren Problem liegt in der Gleichheit zweier Summen, deren eine sich über alle (durch die primitiven Formen einer gegebenen Determinante eigentlich) darstellbaren Zahlen, und deren andere sich über alle relativ primen Werte der Unbestimmten \(x\), \(y\) erstreckt.
Nach einer Reihe zum Teil verwickelter Umformungen jener Gleichheit ergiebt sich schließlich ein so einfaches Resultat, daß man unwillkürlich fragt, ob denn nicht ein directer arithmetischer Proceß auch zum Ziel führen könne.
Mit besonderer Liebe geht der Verf. noch auf das Problem der Häufigkeit der Primzahlen ein, wobei die functionentheoretischen Untersuchungen von Riemann und seinen Nachfolgern über die Function \(\zeta(s)\) ihre Kraft entfalten.
Hieran knüpfen sich ungezwungen systematische Erörterungen über einige der wichtigsten zahlentheoretischen Functionen und deren Mittelwerte, die vielen Lesern besonders willkommen sein werden. Mögen die vorstehenden, nur allzu knappen Zeilen beitragen, dem Buche viele Freunde zu gewinnen.

MSC:
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M41 Other Dirichlet series and zeta functions
11Nxx Multiplicative number theory
11Pxx Additive number theory; partitions
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