On the decomposition of ideals in a number field into prime ideals. (Ueber die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale.) (German) JFM 25.0307.03

Hilbert, D.

Math. Ann. XLIV, 1-8 (1894).

Der Aufsatz bringt einen neuen Beweis des Satzes, dass in einem algebraischen Zahlkörper jedes Ideal auf eine und nur auf eine Weise in Primideale zerlegt werden kann. Nach Erledigung einiger einfacheren Punkte, darunter des Satzes, wenn das Product zweier Ideale \(\mathfrak j\) und \(\mathfrak t\equiv0\) nach einem Primideal \(\mathfrak p\) ist, so ist entweder \(\mathfrak j\equiv0\) oder \(\mathfrak t\equiv0(\mathfrak p)\), gilt es allein, darzuthun, dass zu jedem vorgelegten Primideal \(\mathfrak p\) sich stets ein Ideal \(\mathfrak t\) so bestimmen lässt, dass \(\mathfrak{pt}\) ein Hauptideal ist. Dieses Theorem wird zuerst für einen Galois’schen Körper bewiesen. Es sei \(n\) sein Grad; ein Ideal \(\mathfrak a\) in ihm heisst ambig, wenn seine \(n-1\) conjugirten mit \(\mathfrak a\) identisch sind. Aus den ganzzahligen Gleichungen \(n^{\text{ten}}\) Grades, die für die einzelnen Zahlen aus \(\mathfrak a\) bestehen, folgt, wenn das ambige Ideal \(\mathfrak a\equiv0\) nach einem vorgelegten Primideal \(\mathfrak p\) und \(p\) die durch \(\mathfrak p\) teilbare rationale Primzahl ist, das Vorhandensein einer ganz bestimmten höchsten Potenz \(p^{\frac tu}\), durch welche die Zahlen von \(\mathfrak a\) sämtlich aufgehen, wobei \(\frac tu\) eine rationale Zahl und \(\geqq\frac1n\) wird. \(\mathfrak a\) ist wie vorausgesetzt beschaffen, wenn man es gleich dem Product aus \(\mathfrak p\) und den conjugirten Idealen \(\mathfrak p'\), ..., \(\mathfrak p^{(n-1)}\) nimmt; dabei wird dann \(\mathfrak b=\frac{\mathfrak a^u}{p^t}\) ebenfalls ein ambiges Ideal und kann nicht mehr \(\equiv0\) nach einem \(\mathfrak p^{(m)}\) sein, findet man also \(\mathfrak b=1\), \(\mathfrak a^u=p^t\), und ist für \(\mathfrak t=\mathfrak p'\dots\mathfrak p^{(n-1)}\mathfrak a^{u-1}\) daher \(\mathfrak{pt}=p^t\) ein Hauptideal. Nachdem so jenes Theorem für einen Galois’schen Körper bewiesen ist, folgt es leicht für jeden niederen Körper eines solchen durch Heranziehung der Substitutionen, welche die Zahlen des niederen Körpers ungeändert lassen, und ist damit dann allgemein dargethan.

Reviewer: Minkowski, Prof. (Zürich)

MSC:

11R04

Algebraic numbers; rings of algebraic integers

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Capitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

ideals; prime ideals

References:

[1]	Vorlesungen über Zahlentheorie von Dirichlet. Supplement XI.
[2]	Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen. Crelle, Bd. 92.
[3]	Den Gedankengang dieses Beweises habe ich in der Versammlung der deutsehen Mathematiker-Vereinigung München 1893 vorgetragen.