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On the theory of ideals. (Ueber die Theorie der Ideale.) (German) JFM 25.0308.01
Dieser Aufsatz verfolgt in der Hauptsache dasselbe Ziel wie der eben besprochene des Herrn Hilbert (siehe JFM 25.0307.03). Dass man in einem gegebenen Zahlkörper zu einem jeden Ideal \(\mathfrak a\) ein Ideal \(\mathfrak b\) wählen kann, so dass \(\mathfrak{ab}\) ein Hauptideal ist, wird hier auf der Grundlage des folgenden Hülfssatzes bewiesen: Wenn die Coefficienten zweier Functionen \[ \varphi(x) = \alpha_0x^r +\cdots+ \alpha_r,\quad\psi(x) = \beta_0x^s +\cdots+ \beta_s \] ganze algebraische Zahlen sind, und die ganze algebraische Zahl \(\omega\) jeden der Coefficienten \(\gamma_0\), ..., \(\gamma_{r+s}\) des Productes \(\varphi(x)\psi(x)\) teilt, so ist jede einzelne der \((r+1)(s+1)\) Zahlen \[ \alpha_i\beta_k\qquad(i = 0,\dots,r;\;k = 0,\dots,s) \] durch \(\omega\) teilbar. Die Form \(\varphi(x)\) sei in solcher Beziehung zum Ideal \(\mathfrak a\) gewählt, dass \(\mathfrak a=(\alpha_0,\dots,\alpha_r)\) ist; nimmt man dann für \(\psi(x)\) das Product der zu \(\varphi(x)\) conjugirten Functionen, so werden \(\gamma_0\), ..., \(\gamma_{r+s}\) ganze rationale Zahlen; es sei \(a\) ihr grösster gemeinsamer Teiler, und \((\beta_0,\dots,\beta_s)=\mathfrak b\); so erscheint \(a\) sofort als eine Zahl aus \(\mathfrak{ab}\); andererseits ist nach jenem Hülfssatze \(\mathfrak{ab}\) durch \(a\) teilbar, und also \(\mathfrak{ab}=a\), d. i. ein Hauptideal. Am Schlusse des Aufsatzes wird noch eine Verallgemeinerung jenes Hülfssatzes auf ein Product aus einer beliebigen Anzahl ganzer Functionen mit beliebig vielen Variabeln vorgenommen und davon eine Anwendung gemacht, die im wesentlichen auf die Idealgleichung \[ (\alpha_0,\dots,\alpha_r)(\beta_0,\dots,\beta_s) = (\gamma_0,\dots,\gamma_{r+s}) \] auch bei beliebiger Wahl der obigen Functionen \(\varphi(x)\) und \(\psi(x)\) hinausläuft.

MSC:
11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers
Keywords:
ideals; prime ideals
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Full Text: EuDML