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On the law of inertia for quadratic forms. (Ueber das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen.) (German) JFM 25.0318.01

Berl. Ber. 1894, 241-256, 407-431 (1894); J. für Math. 114, 187-230 (1895).
Das Trägheitsgesetz der quadratischen Formen weist für eine Form \[ \varphi = \sum_{\alpha,\beta}{}_0^{n-1}a_{\alpha\beta} x_\alpha x_\beta \] mit reellen Coefficienten zwei bei reellen umkehrbaren Transformationen invariante Zahlen nach, die sich in gewisser Weise als Anzahlen von Quadraten mit positiven, bez. negativen Vorzeichen darbieten; ihre Summe ist der Rang, ihre Differenz heisst nach Frobenius die Signatur von \(\varphi\). Der Rang \(r\) von \(\varphi\) ist der Rang ihrer Determinante \(|a_{\alpha\beta}|\). Es werde \[ A_0 = 1,\quad\Sigma\pm a_{00}\dots a_{\varrho-1,\varrho-1} = A_\varrho\,(\varrho=1,\dots) \] gesetzt. Unter \(\operatorname{sign}(a)\) verstehe man 1, \(-1\), 0, je nachdem \(a\) positiv, negativ, Null ist. Man kann \(x_1\), ..., \(x_n\) stets so geordnet annehmen, dass unter den Grössen \(A_0\), \(A_1\), ..., \(A_r\) nie zwei auf einander folgende verschwinden, und dass \(A_r\gtrless0\) ist; dann ist die Signatur \(s\) von \(\varphi\) gleich \(\underset\varrho\Sigma_1^r\operatorname{sign}(A_{\varrho-1}A_\varrho)\). Die Arbeit entwickelt zunächst diese Gundelfinger’sche Regel zur Berechnung von \(s\). Für die ganze Untersuchung stellt sich als hauptsächlichstes Hülfsmittel ein Theorem über Determinanten von Sylvester dar. Aus den Vorzeichen von \(A_0\), \(A_1\), ..., \(A_r\) kann man \(s\) auch noch berechnen, wenn in dieser Reihe nie mehr als drei auf einander folgende Grössen verschwinden und \(A_r\gtrless0\) ist; man hat dann, so oft \[ A_{\varrho+1} = A_{\varrho+2} = 0\quad(\varrho+3\leqq r) \] ist, in der obigen Summe das Aggregat \[ \operatorname{sign}(A_\varrho A_{\varrho+1}) + \operatorname{sign}(A_{\varrho+1} A_{\varrho+2}) + \operatorname{sign}(A_{\varrho+2} A_{\varrho+3}) \] durch — \(\operatorname{sign}(A_\varrho A_{\varrho+3})\) zu ersetzen. — Weiterhin wird vorausgesetzt, dass \(a_{\alpha\beta}=a_{\alpha+\beta}\) nur von der Summe \(\alpha+\beta\) abhänge; das System der \(a_{\alpha\beta}\) heisst dann ein recurrirendes. Ist es unbegrenzt (\(n\) unendlich), aber sein Rang \(r\) endlich, so ist gewiss \(A_r\gtrless0\). Ist es begrenzt und ist \(A_r=0\), so sei \(\varrho\) der grösste Index, für den \(A_\varrho\gtrless0\) ist; dann ist jedenfalls die Determinante \(A_r'\) aus den ersten \(\varrho\) und den letzten \(r-\varrho\) Zeilen und Spalten des Systems \(\gtrless0\). Die von Null verschiedenen Grössen der Reihe \(A_0\), \(A_1\), ..., \(A_r\) seien \(A_0\), \(A_\alpha\), ..., \(A_\varkappa\), \(A_\lambda\), ..., \(A_\varrho\); falls \(\varrho<r\), füge man dazu noch \(A_r'\). Man bilde \((-1)^{\frac12(\lambda-\varkappa-1)}\operatorname{sign} (A_\varkappa A_\lambda)\), so oft eine Differenz \(\lambda-\varkappa\) ungerade ist, und noch \((-1)^{\frac12(r-\varrho-1)}\operatorname{sign}(A_\varrho A_r')\), wenn \(r-\varrho\) ungerade ist; die Signatur \(s\) von \(\varphi\) ist dann die Summe dieser Vorzeichen. Dieselbe Regel gilt für die Form \(\varphi\), wenn sie aus \(2n+2\) unabhängigen Grössen \(p_\lambda,\;q_\lambda\) \((\lambda=0,\dots,n)\) vermöge \[ F(u) = \sum_\lambda{}_0^n p_\lambda u^{n-\lambda},\;G(u) = \sum_\lambda{}_0^n q_\lambda u^{n-\lambda}, \]
\[ \frac{F(u)G(v)-F(v)G(u)}{u-v} = \sum_{\alpha\beta}{}_0^{n-1} a_{\alpha\beta} u^{n-1-\alpha}v^{n-1-\beta} \] abgeleitet erscheint (Bézout’sche Form). Im Anschluss an diese Resultate ergeben sich die Sätze von Kronecker über die Sturm’schen Functionen; sie fliessen hier einzig aus identischen Determinantenrelationen.

MSC:

11E10 Forms over real fields
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Full Text: EuDML