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Conférenee faite aux élèves de l’École Polytechnique sur les “changements de variables”. (French) JFM 25.0462.01
Nouv. Ann. (3) XIII. 5-22 (1894).
“Hat man irgendwie eine Identität von der Form: \[ df(x,y) = Adx + Bdy, \] bez. \[ d^2f(x,y) = Adx^2 + 2Bdxdy + Cdy^2 + Dd^2x + Ed^2y \] erhalten, so muss identisch \[ A = \frac{\partial f}{\partial x},\quad B = \frac{\partial f}{\partial y}, \] bez. \[ A = \frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad B = \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y},\quad C = \frac{\partial^2f}{\partial y^2},\quad D = \frac{\partial f}{\partial x},\quad E = \frac{\partial f}{\partial y} \] sein.”
Von diesen Sätzen, bez. den entsprechenden für Functionen von mehr als 2 Variabeln, macht der Verf. einige Anwendungen. Zunächst weist er nach, dass jede Function, welche der Euler’schen Relation \(mu = x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}\) genügen soll, die Form \(u=x^mf\left(\frac yx,\frac zx\right)\) hat, also eine homogene Function ist. Der Satz lässt sich übrigens ohne weiteres auf Functionen von beliebig vielen Variabeln ausdehnen. Zweitens zeigt der Verf., dass alle Flächen, welche der Differentialgleichung (in der Euler’schen Bezeichnung): \(p^2t-2pqs+q^2r = 0\) genügen, geradlinige Flächen sein müssen, deren erzeugende Gerade parallel der \(xy\)-Ebene ist.
Weiter benutzt der Verfasser die obigen beiden Sätze, um einen allgemeinen Satz über Berührungstransformationen abzuleiten und um die Transformationen von Legendre, Ampère und diejenige, welche eine Fläche in ihre Fusspunktenfläche überführt, eingehender zu behandeln.
Full Text: EuDML