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Sur les équations différentielles linéaires à coefficients constants. (French) JFM 25.0540.01
Nouv. Ann. (3) XIII. 47-52 (1894).
Der Verf. macht gegen die gebräuchliche Form des allgemeinen Integrals einer linearen homogenen Differentialgleichung mit constanten Coefficienten geltend, dass sie mehr eine symbolische als eine wirklich praktische Lösung sei, da sie weder die Coefficienten der vorgelegten Differentialgleichung noch die gewöhnlich gegebenen Anfangswerte direct enthalte. Er selbst giebt eine solche in folgender Form: Entwickelt man den Bruch \[ \frac{y_0 + \left[\left(\frac{dy}{dx}\right)_0+p_1y_0\right]x + \left[\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)_0+p_1\left(\frac{dy}{dx}\right)_0+ p_2y_0\right]x^2 +\cdots+ \left[\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)_0+\cdots+p_{n-1}y_0\right]x^{n-1}}{1 + p_1x + p_2x^2 +\cdots+ p_nx^n}, \] worin \(p_1\), \(p_2\), ..., \(p_n\) die Coefficienten der gegebenen Differentialgleichung sind, in eine Reihe: \[ a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots, \] so stellt die Reihe \[ y = a_0 + a_1\frac x1 + a_2\frac{x^2}{2!} + a_3\frac{x^3}{3!} +\cdots, \] deren unbeschränkte Convergenz bewiesen wird, die allgemeine Lösung der Differentialgleichung dar; es werden dann noch einige Anwendungen davon gegeben. Vergl. übrigens die elegante Lösung Cauchy’s in Form eines complexen Integrals.
Full Text: EuDML