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Beiträge zur Auflösung von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit linearen Coefficienten sowie von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, denen gewisse bestimmte Integrale genügen. (German) JFM 25.0583.01

Die Arbeit zerfällt in drei Teile. 1. Die Gleichung der Form \[ xy'' + (a+1)y' - y = 0 \] hat die Integrale \[ y_1 = F(a,x) = \sum_{\lambda=0}^{\lambda=\infty} \frac{x^\lambda}{\lambda!\Gamma(a + \lambda + 1)},\quad y_2 = x^{-a}F(-a,x). \] Auf den Typus dieser Gleichung werden die Gleichungen \[ x^2y'' + 2xy' + (x^2-r(r+1))y = 0 \] und \[ x^2y'' + (a+1)xy' - bx^ry = 0 \] zurückgeführt und integrirt. Die Integrale der ersteren sind Bessel’sche Functionen der ersten Art.
2. Eine Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung mit linearen Coefficienten \[ (a_0x + b_0)y^{(n)} + (a_1x + b_1)y^{(n-1)} +\cdots+ (a_nx + b_n)y = 0 \] sei gegeben, und es sei \[ f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} +\cdots+ a_n = \prod(x-\alpha),\quad g(x) = b_0x^n + b_1x^{n-1} +\cdots+ b_n, \] so lässt sich der Differentialgleichung durch ein bestimmtes Integral von der Form \(y=\int e^{xt}\frac{h(t)}{f(t)}dt\) genügen, wo, falls die Wurzeln \(\alpha\) der Gleichung \(f(x)=0\) verschieden sind und \[ \frac{g(x)}{f(x)} = \sum_{\lambda=1}^{\lambda=n} \frac{A_\lambda}{x-\alpha_\lambda} \] ist, \(h(t)=\prod(t-\alpha_\lambda)^{A_\lambda}\), also \(y\) die Form hat \(y=\int e^{xt}\prod(t-\alpha_\lambda)^{A_\lambda-1}dt\). Die Grenzen sind so zu wählen, dass \(e^{xt}\prod(t-\alpha_\lambda)^{A_\lambda}\) an ihnen verschwindet.
Nach dieser Methode wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung mit linearen Coefficienten integrirt, die, falls die Wurzeln \(\alpha_\lambda\) verschieden sind, auf \(xy''-(x-c)y'-ay=0\) reducirt wird, wo die Wurzeln \(\alpha_\lambda\) die Werte 0 und 1 und die \(A_\lambda\) resp. die Werte \(a\) und \(c-a\) haben. Als Grenzen des bestimmten Integralss werden für das eine particuläre Integral 0 und 1 genommen; für das zweite particuläre Integral wird als Integrationsweg des bestimmten Integrals eine Schleife um die Pole 0 und 1 genommen, die von dem Punkte, wo \(xt=-\infty\) ist, ausgeht und darin endet. Den Integralen werden noch besondere Darstellungen gegeben und einige Eigenschaften derselben entwickelt.
3. Es wird die Differentialgleichung zweiter Ordnung gebildet, der die Integralform \(\int\varphi(t)(t-x)^ndt\) zukommt. Ein Specialfall, der näher untersucht wird, ist die Gleichung \[ (x^2 + fx + g)y'' + (hx+i)y' + ky = 0, \] deren Integrale sich durch hypergeometrische Reihen darstellen lassen.
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References:

[1] Math. Annalen Bd. 38, S. 228 ff.
[2] Math. Annalen Bd. 41, S. 174 ff.
[3] Vergl. L. Schläfli: Sopra un teorema di Jacobi recato a forma più generale ed applicato alla funzione cilindrica. Annali di Mat. Ser. IIa, Tom. V0, p. 203, 1871 und schon vorher in: Sulle relazioni tra diversi integrali definiti che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazione di Riccati. Annali di Math. II. Ser. Tom. III, p. 232.
[4] J. Dienger, Differential- und Integralrechnung. Stuttgart 1857, S. 347. · ERAM 034.0958cj
[5] Dienger, S. 173.
[6] Vergl. L. Pochhammer, diese Annalen Bd. 38, S. 224 ff. und A. Weiler, Crelle’s Journal Bd. 51, S. 107 ff.
[7] Vergleiche Dienger, S. 349.
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