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Sur la réduction d’un système différentiel quelconque à un système linéaire et complètement intégrable du premier ordre. (French) JFM 25.0591.02
Siehe auch JFM 25.0590.01; JFM 25.0590.02; JFM 25.0590.03; JFM 25.0591.01. I. Es seien \(x\), \(y\), ... die unabhängigen Veränderlichen, \(u\), \(v\), ... die unbekannten Functionen in irgend einem “Differentialsystem” (système différentiel). Jeder dieser Grössen werde ein System von \(p\) “Marken” (cotes) zugeordnet, nämlich \(p\) positive oder negative ganze Zahlen, Null eingeschlossen, die etwa mit \(x_q\), \(y_q\), ...; \(u_q\), \(v_q\), ... \((q=1,2,\dots,p)\) bezeichnet werden mögen. Die Ableitung: \[ \frac{\partial^nu}{\partial x^\lambda \partial y^\mu\dots} \] möge alsdann die Marken \(u_q+\lambda x_q+\mu y_q+\cdots\) besitzen.
II. Das Differentialsystem heisst “harmonisch”, wenn es möglich ist, ihm folgende Gestalt zu erteilen:
1) Alle Gleichungen haben die Form, dass durch sie eine gewisse Ableitung als Function der unabhängigen Veränderlichen, der unbekannten Functionen und der übrigen Ableitungen ausgedrückt wird. Diese Functionen verhalten sich in Bezug auf alle ihre Argumente in einem gewissen Bereiche regulär; bei allen folgenden Untersuchungen werden nur Grössen betrachtet, die diesem Bereiche angehören.
2) Keine der Ableitungen, die auf den linken Seiten vorkommen, findet sich jemals auf den rechten Seiten, und die Ordnung einer Ableitung auf der linken Seite einer Gleichung ist nicht grösser als alle Ordnungen, die auf der rechten Seite auftreten.
3) Gehören zu der Ableitung auf der linken Seite einer der Gleichungen die Marken \(c_1\), \(c_2\), ..., \(c_p\) und zu irgend einer Ableitung auf der rechten Seite die Marken \(c_1'\), \(c_2'\), ..., \(c_p'\) so soll es stets möglich sein, die Zahlen \(c\) so zu wählen, dass die Differenzen \(c_q-c_q'\) nicht alle gleich Null sind, und dass die erste von Null verschiedene positiv ist.
III. Die Functionen \(U(x,y,\dots)\), \(V(x,y,\dots)\), ... bilden eine “Schar regulärer Integrale”, groupe d’intégrales régulaires (Fussnote: ) Da das Wort “Gruppe” eine ganz bestimmte Bedeutung erlangt hat, erscheint es mir unstatthaft, hier von einer “Gruppe von Integralen” zu sprechen, und ich habe daher “groupe” durch “Schar” wiedergegeben.), wenn sie 1), formal betrachtet, das Differentialsystem identisch befriedigen und 2) in einem gewissen Bereiche regulär sind und für \(u\), \(v\), ... und deren Ableitungen Werte liefern, die dem betrachteten Bereiche angehören.
Durch Differentiation entsteht aus dem gegebenen Differentialsysteme eine unbegrenzte Reihe von Relationen. Die Ableitungen, welche dabei auf den linken Seiten vorkommen, heissen “Hauptableitungen” (dérivées principales), die übrigen Ableitungen “Nebenableitungen” (dérivées paramétriques); im allgemeinen gehören zu jeder Hauptableitung mehrere Relationen.
Diese “Urgleichungen” (relations primitives) lassen sich in “Scharen” (groupes) ordnen, so dass die rechten Seiten jeder Schar nur enthalten: die unabhängigen Veränderlichen, die unbekannten Functionen, gewisse Nebenableitungen und ausschliesslich die Hauptableitungen der vorhergehenden Schar; bei der ersten Schar finden sich daher auf den rechten Seiten überhaupt keine Hauptableitungen. Diese Anordnung ermöglicht es, aus den Urgleichungen die “Endgleichungen” (relations ultimes) herzuleiten, bei denen die Hauptableitungen allein durch die unabhängigen Veränderlichen, die unbenannten Functionen und die Nebenableitungen ausgedrückt werden; zu jeder Hauptableitung gehören im allgemeinen mehrere Endgleichungen.
IV. Besitzt ein harmonisches System eine Schar regulärer Integrale, so kann man ihre Entwickelungen nach ganzen, positiven Potenzen von \(x-x_0\), \(y-y_0\), ... finden, wenn man die Anfangswerte der unbekannten Functionen und der Nebenableitungen kennt; der Teil der Entwickelung, der diese Anfangswerte enthält, heisst “Anfangsbestimmung” (détermination initiale), der Rest “Hauptteil” (portion principale).
Jetzt kommt alles an auf die Beantwortung der Frage: “Giebt es umgekehrt bei beliebigen Anfangsbedingungen, die nur dem betrachteten Bereich angehören und convergente Anfangsbestimmungen liefern müssen, stets eine Schar regulärer Integrale?” Soll es der Fall sein, so ist notwendig, dass 1) die Endgleichungen, von denen ja im allgemeinen mehrere zu einer Hauptableitung gehören, mit einander verträglich sind, und dass 2) die Entwickelungen convergiren.
Ist die erste Bedingung für beliebige Anfangsbedingungen (innerhalb des betrachteten Bereiches) erfüllt, so ist das System ein “harmonisches, passives System”. Wenn im besonderen 1) die rechten Seiten ganze rationale Functionen der Ableitungen der \(u\), \(v\), ... sind, und die Coefficienten, die von \(x\), \(y\), ...; \(u\), \(v\), ... allein abhängen, in dem betrachteten Bereiche sich regulär verhalten, und 2) bei jedem Gliede der rechten Seite die Summe der Ordnungen der Factoren nicht grösser ist, als die Ordnung der zugehörigen linken Seite, so heisst das harmonische, passive System ein “reines System” (système franc).
V. Nunmehr wird der fundamentale Satz hergeleitet: “Jedes reine System besitzt bei beliebigen Anfangsbedingungen innerhalb des betrachteten Bereiches eine Schar regulärer Integrale und nur eine einzige solche Schar.” Der Beweis wird mittels der Cauchy’schen Methode der “Majoranten” geführt. Mit diesem Namen, Majorante einer Function, der wegen der Wichtigkeit des Begriffes allgemeine Einführung verdiente, bezeichnet Herr Riquier nach dem Vorgange des Hrn. Méray eine Potenzreihe mit lauter positiven Coefficienten, die alle nicht kleiner sind, als die absoluten Beträge der entsprechenden Coefficienten in der ursprünglichen Potenzreihe.
Derselbe Satz gilt aber auch für jedes harmonische, passive System, da ein jedes System dieser Art durch ein ganz bestimmtes Verfahren, das mit wenigen Worten sich nicht beschreiben lässt, in ein reines System verwandelt werden kann; es möge nur betont werden, dass dieses Verfahren auf algebraischen Umformungen von Gleichungen und Einführung neuer unbekannter Functionen beruht, mithin keine Integrationen erfordert.
Endlich ergiebt sich hieraus als Schlussresultat, dass bei einem beliebigen Differentialsystem, bei welchem die rechten Seiten Null sind und die linken Seiten sich in einem gewissen Gebiete regulär verhalten, nur folgende Möglichkeiten eintreten können:
Entweder besitzt das System keine Lösung;
oder es ist gleichbedeutend mit einem Systeme endlicher Gleichungen, die man aus ihm ohne Integration ableiten kann;
oder seine Integration kommt zurück auf die eines harmonischen, passiven Systems.
VI. Wie in der zweiten Abhandlung gezeigt wird, lässt sich die Reduction eines beliebigen Differentialsystems noch weiter treiben, da jedes harmonische, passive System durch blosse Differentiationen und Einführung neuer Veränderlichen in ein harmonisches, passives System erster Ordnung verwandelt werden kann, das sogar in Bezug auf alle Ableitungen der unbekannten Functionen linear ist.
Es sei dem Referenten gestattet, diesem Berichte noch eine Bemerkung hinzuzufügen. Wenn auch die Sätze des Herrn Riquier einen wichtigen Fortschritt in der Frage nach der Existenz von Integralen beliebiger Differentialsysteme bedeuten, so ist dieses Problem doch damit keineswegs vollständig erledigt. Ist zum Beispiel ein System von \(r\) algebraisch unabhängigen partiellen Differentialgleichungen mit \(r\) unbekannten Functionen gegeben, so ist es eine Frage von fundamentaler Bedeutung, ob diese Gleichungen bei beliebig gegebenen Anfangswerten der unabhängigen Veränderlichen, der unbekannten Functionen und der Nebenableitungen überhaupt Integrale besitzen. Diese Frage wird durch die Sätze des Herrn Riquier nicht entschieden, und eben so wenig ist sie durch die gleichzeitigen Untersuchungen des Herrn Königsberger (J. für Math. CIX. 261-340) zur Erledigung gebracht worden.

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