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Sur le système d’équations aux dérivées partielles simultanées auxquelles satisfait la série hypergéométrique à deux variables \(F_1(\alpha,\beta,\beta',\gamma,x,y)\). (French) JFM 25.0608.02

In ausführlicher Weise studirt der Verfasser das System der simultanen partiellen Differentialgleichungen, denen die Appell’sche hypergeometrische Reihe mit zwei Variabeln genügt. Ausgehend von der Reihenentwickelung von \(F_1\), wird gezeigt, dass jede contigue Function \(F_1(\alpha+p,\dots)\), wo \(p\), ... ganze Zahlen bedeuten, eine homogene lineare Function von \[ F_1,\quad \frac{\partial F_1}{\partial x},\quad \frac{\partial F_1}{\partial y} \] mit rationalen Coefficienten in \(x\) und \(y\) ist; hieraus ergiebt sich das Differentialgleichungssystem für \(F_1\). Diesem genügen die zehn particulären Integrale \[ \int_g^h u^{\alpha-1}(1 - u)^{\gamma-\alpha-1}(1 - ux)^{-\beta}(1 - uy)^{-\beta'}du, \] wo \(g\) und \(h\) zwei beliebige der Werte 0, 1, \(\infty\), \(\frac1x\), \(\frac1y\) annehmen können. Entsprechend den 24 Kummer’schen Integralen der gewöhnlichen hypergeometrischen Reihe, ergeben sieh hier 64 Integrale, welche sämtlich aufgestellt werden. Alsdann werden die Relationen aufgesucht, die zwischen 3 oder 4 der erwähnten zehn Integrale bestehen, wobei hervorgehoben wird, dass diese Beziehungen von der Lage von \(x\) und \(y\) abhängen. Es wird dann untersucht, wann \(x\) und \(y\) eindeutige Functionen gewisser Integralausdrücke \(\xi\) und \(\eta\) sind, was eintritt, wenn gewisse Coefficientenverbindungen umgekehrte Werte ganzer Zahlen sind. Alle hier in Betracht kommenden Fälle sind hergestellt; zuletzt wird ermittelt, in welchem Falle das Differentialgleichungssystem ein algebraisches Integral besitzt.

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Full Text: Numdam Numdam