Sui gruppi continui di trasformazioni cremoniane nel piano. (Italian) JFM 25.0643.02

Enriques, F.

Rom. Acc. L. Rend. (5) II, No. 1, 468-473 (1893).

Der Verfasser behandelt die Aufgabe, alle continuirlichen Gruppen von Cremona’schen Transformationen einer Ebene zu bestimmen, und findet, dass jede derartige Gruppe durch eine Cremona’sche Transformation ähnlich ist mit einer der folgenden Gruppen: 1) mit der achtgliedrigen allgemeinen projectiven Gruppe, 2) mit der sechsgliedrigen Gruppe der reciproken Radien, 3) mit der \((n+5)\)-gliedrigen Gruppe aller Jonquières’schen Transformationen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung, bei denen eine gewisse Schar von \(\infty^{n-1}\) Curven \(n^{\text{ter}}\) Ordnung mit einem \((n-1)\)-fachen Punkte invariant bleibt, 4) mit einer Untergruppe der genannten drei Gruppen. Vergleicht man diese Aufzählung mit der alten Lie’schen Aufzählung aller Typen von continuirlichen Gruppen von Punkttransformationen einer Ebene, so bemerkt man sofort, dass die Typen des Verfassers die einzigen Typen von Gruppen Cremona’scher Transformationen sind, die in der Lie’schen Aufzählung (siehe z. B. Theorie der Transformationsgruppen III, S. 71 ff.) vorkommen. Die dritte Gruppe hat, nebenbei bemerkt, in der Lie’schen Aufzählung die Form \[ q,\, xq,\, x^2q,\, \dots,\, x^nq,\, yq,\, p,\, xp,\, x^3p+rxyq; \] die invariante Schar von Curven \(n^{\text{ter}}\) Ordnung ist diese: \[ y = a_0 + a_1x +\cdots+ a_nx^n. \] Der Verfasser erwähnt, dass bei dieser Gruppe die Punkte der Ebene genau so transformirt werden, wie die Punkte eines rationalen Kegels \(n^{\text{ter}}\) Ordnung im \(R_{n+1}\) bei der projectiven Gruppe dieses Kegels.

Reviewer: Engel, Prof. (Leipzig)

JFM Section:

Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Capitel 6. Partielle Differentialgleichungen.