A study of functional equations. (Étude sur les équations fonctionnelles.) (French) JFM 25.0671.02

Grévy, A.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) XI, 249-323 (1894).

Die in vorliegender Abhandlung entwickelte Theorie ist eine Verallgemeinerung der Theorie der linearen Differenzengleichungen und bietet, wie diese, grosse Analogien mit der Theorie der linearen Differentialgleichungen. Es sei \(\varphi(z)\) eine Function, die holomorph in einem Kreise \(C_x\) mit dem Mittelpunkte \(x\) und so beschaffen ist, dass \(\varphi(x)=x\) und \(|\varphi'(x)|<1\) ist. Nach einem Satze von Königs kann man den Kreis \(C_x\) so klein annehmen, dass der Modul von \(\frac{\varphi(z)-x}{z-x}\), so lange \(z\) auf den Kreis \(C_x\) eingeschränkt bleibt, unterhalb einer Zahl liegt, die kleiner als 1 ist. Setzt man \(z_1=\varphi(z)\) und allgemein \(z_k=\varphi(z_{k-1})\), s0 convergirt die Reihe \(z\), \(z_1\), \(z_2\), ... gegen den Weit \(x\). Es handelt sich, nun um die Untersuchung der Functionalgleichung \[ p_0(z)f(z) + p_1(z)f(z_1) +\cdots+ p_n(z)f(z_n) = 0,\tag{1} \] wo \(p_0(z)\), \(p_1(z)\), ..., \(p_n(z)\) gegebene Functionen, \(f(z)\) eine zu stimmende Function bezeichnen. Das Argument \(z\) ist auf den Kreis \(C_x\) einzuschränken. Zunächst lässt sich durch die Methode der Reihenvergleichung die Existenz einer in der Umgebung der Stelle \(x\) holomorpben Lösung \(f(z)\) der Gleichung (1) nachweisen, unter der Voraussetzung, dass die Coefficienten \(p_i(z)\) gewisse Bedingungen befriedigen. Um die allgemeinste Lösung von (1) zu erhalten, hat man die “charakteristische” Gleichung \[ p_0(x) + p_1(x)t + p_2(x)t^2 +\cdots+ p_n(x)t^n = 0,\tag{2} \] aufzustellen. Jeder der \(n\) Wurzeln dieser Gleichung entspricht eine Lösung, und aus den so entstehenden \(n\) “Fundamental-Lösungen” lässt sich die allgemeinste Lösung ableiten. Die analytische Natur der Fundamental-Lösungen hängt davon ab, ob die Gleichung (2) nur einfache oder auch mehrfache Wurzeln besitzt. Die allgemeine vom Verfasser entwickelte Theorie beruht zum Teil auf der Untersuchung specieller Functionalgleichungen der Gestalt (1). Am Schlusse der Abhandlung werden die allgemeinen Sätze auf das Beispiel der Functionalgleichungen mit constanten Coefficienten angewandt.

Reviewer: Hurwitz, Prof. (Zürich)

MSC:

39A05

General theory of difference equations

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Difference equations and their relation to differential equations