On the function \(\zeta(s)\) of Riemann and some analogous functions. (Sur la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann et sur des fonctions analogues.) (French) JFM 25.0702.01

Cahen, E.

Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (3) 11, 75-164 (1894).

Die vorliegende Abhandlung ist dem Studium der Functionen \(f(s)\) einer complexen Veränderlichen \(s\) gewidmet, die durch eine Reihe der Gestalt \[ f(s) = \alpha_1e^{-\lambda_1s} + \alpha_2e^{-\lambda_2s} + \alpha_3e^{-\lambda_3s} +\cdots\tag{1} \] definirt sind. Hier bezeichnen \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\), ... beliebige complexe, dagegen \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), ... beständig und ins Unendliche wachsende reelle positive Grössen. Für derartige Reihen gelten ähnliche Convergenztheoreme, wie für Potenzreihen. Zum Beispiel: wenn die Reihe (1) für \(s=s_0\) convergirt, so convergirt sie für jedes \(s\), dessen reeller Bestandteil \(\operatorname{Re}(s)\) grösser als der reelle Bestandteil \(\operatorname{Re}(s_0)\) von \(s_0\) ist. Der Convergenzbezirk einer solchen Reihe ist daher eine Halbebene, begrenzt durch eine Gerade, die “Convergenzgerade”, die parallel der Axe der rein imaginären Zahlen läuft. Im Innern des Convergenzbezirks stellt die Reihe (1) eine holomorphe Function von \(s\) vor. Von den hier anknüpfenden Sätzen des Verfassers möge als besonders interessant die Verallgemeinerung eines Satzes des Hrn. Hadamard erwähnt werden: Wenn die Reihe (1) nicht beständig convergirt und ihre Convergenzgerade eine positive Abscisse \(a\) besitzt, so ist \[ a = \lim\sup_{n=\infty} \frac{\log|\sum\alpha_n|}{\lambda_n}. \] Zur Erläuterung ist dabei Folgendes zu bemerken: Hat man eine unendliche Reihe von reellen Zahlen \(k_1\), \(k_2\), ..., so bedeutet \(\lim\sup\limits_{n=\infty}k_n\) (nach Hadamard) denjenigen Wert \(l\), für welchen zwischen \(l-\varepsilon\) und \(l+\varepsilon\), wie auch die positive Zahl \(\varepsilon\) gewählt werden möge, stets unendlich viele, über \(l+\varepsilon\) hinaus aber nur endlich viele der Zahlen \(k_1\), \(k_2\), ... liegen. — Die Frage, unter welchen Bedingungen eine analytische Function \(f(s)\) für diejenigen Werte von \(s\), deren reeller Teil grösser als \(d\) ist, in eine Reihe der Gestalt (1) entwickelbar ist, hat schon Kronecker behandelt. (Vgl. JFM 10.0183.01). Die Antwort ist, dass das Integral \[ \Phi(w) = \frac1{2\pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} f(s)\cdot e^{ws}d\log s, \] wo \(w\) eine positive Variable, \(a\) eine reelle Zahl \(>d\) bedeuten, unabhängig von \(a\) und constant sein muss in den Intervallen \[ 0 < w < \lambda_1,\quad \lambda_1 < w < \lambda_2,\quad\dots. \] Zugleich sind durch die Function \(f(s)\) nicht nur die Coefficienten \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., sondern auch die Werte von \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), ... eindeutig bestimmt. — Zwischen der Reihe (1) und der Reihe \[ F(s) = \alpha_1e^{-s\lg\lambda_1} + \alpha_2e^{-s\lg\lambda_2} +\cdots \] bestehen, wie aus einer bekannten Formel aus der Theorie der \(\Gamma\)-Functionen hervorgeht, die Beziehungen \[ F(s) = \frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx = \int_C x^{s-1}f(-x)dx, \] wo die Integrationslinie \(C\), von \(-\infty\) ausgehend, nach positivem Umlauf um \(x=0\) nach \(-\infty\) zurückkehrt. Umgekehrt ist \[ f(x) = \frac1{2\pi i} \int_{a-\infty i}^{a+\infty i} \Gamma(s)F(s)x^{-s}ds. \] Diese Formeln leisten gute Dienste, wenn es sich um die Fortsetzung der Function \(F(s)\) über den Convergenzbezirk der \(F(s)\) definirenden Reihe hinaus, oder um die Uebertragung der Eigenschaften der Function \(F(s)\) auf die Function \(f(s)\) und vice versa handelt.
Nach einigen Bemerkungen über das Rechnen mit Reihen der Gestalt (1) wendet sich der Verfasser zu der Betrachtung der Riemann’schen Function \(\zeta(s)=\sum\limits_1^\infty {}_n\frac1{n^s}\) und der ähnlich gebildeten Function \(\chi(s)=\sum\limits_1^\infty {}_n\frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}\). Einer Methode Halphen’s folgend, benutzt der Verfasser die Eigenschaften dieser Functionen zur Herleitung asymptotischer Werte zahlentheoretischer Functionen. Zum Beispiel wird der Satz aufgestellt: Die Summe der Logarithmen der \(x\) nicht überschreitenden Primzahlen ist asymptotisch gleich \(x\). Indessen dürfte der hierfür gegebene Beweis nicht den Anforderungen der Strenge genügen. (Vgl. P. Bachmann, Die analytische Zahlentheorie, Leipzig 1894, JFM 25.0249.02). — In dem dritten und letzten Capitel seiner Abhandlung beschäftigt sich der Verfasser vorzugsweise mit den Reihen der Gestalt \[ \xi_k(s)=\sum_0^\infty {}_n\frac1{(pn+k)^s}\qquad(k=1, 2, \dots, p), \] wo \(p\) eine Primzahl bezeichnet. Der Verfasser behandelt insbesondere die Frage nach denjenigen linearen Combinationen der Functionen \(\xi_1(s)\), \(\xi_2(s)\), ..., \(\xi_p(s)\): \[ F(s) = a_1\xi_1(s) + a_2\xi_2(s) +\cdots+ a_p\xi_p(s), \] für welche \(\frac{F(1-s)}{F(s)}\) sich durch trigonometrische und \(\Gamma\)-Functionen darstellen lässt. Auf diese Weise findet der Verfasser unter anderem Sätze, die in den vom Referenten für die Dirichlet’schen Reihen aufgestellten Sätzen enthalten sind. (Vgl. F. d. M. XIV. 1882. 371, JFM 14.0371.01. Auf pag. 372 dieses Referates ist hinter der dritten Zeile von oben einzuschalten: “für jeden beliebigen endlichen Wert”. Wegen dieser Sätze vergleiche auch das oben citirte Werk von Bachmann, in welchem die weitere Litteratur angegeben ist.) Schliesslich betrachtet der Verfasser eine Function \(F(s)=\sum\frac{\alpha_n}{n^s}\), von der er annimmt, dass sich \(\beta^{-\frac s{\alpha}}F(s)\Gamma\left(b+\frac s{\alpha}\right)\) nicht ändert, wenn \(s\) durch \(1-s\) ersetzt wird. Dabei bedeuten \(\alpha\), \(\beta\), \(b\) Constanten. Bildet man dann die Function \(\psi(x)=\sum\alpha_n n^{\alpha b}e^{-n^a\beta x}\), so hat diese die Eigenschaft, dass zwischen \(\psi(x)\) und \(\psi(\frac{1}{x})\) eine einfache Relation besteht. Hierin ist insbesondere eine Reihe von Sätzen aus der Theorie der elliptischen Modulfunctionen enthalten.

Reviewer: Hurwitz, Prof. (Zürich)

MSC:

11M06	\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M41	Other Dirichlet series and zeta functions

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Dirichlet series; Riemann zeta-function

Citations:

JFM 10.0183.01; JFM 25.0249.02; JFM 14.0371.01