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On Green functions relative to a one dimensional domain. (Sur les fonctions de Green relatives à un domaine d’une dimension.) (French) JFM 25.0716.04
“Green’sche Function” in Bezug auf einen gegebenen Bereich \(\mathfrak B\) in einer ebenen \(n\)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeit \((n\geqq3)\) heisst bekanntlich eine Function \[ G(x_1,x_2,\dots,x_n;\,\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n), \] die im Innern von \(\mathfrak B\) der Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2G}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2G}{\partial x_2^2} +\cdots+ \frac{\partial^2G}{\partial x_n^2} = 0 \] genügt, die sich daselbst regulär verhält, abgesehen vom Punkte \(\xi_1\), \(\xi_2\),…, \(\xi_n\), wo sie unendlich wird wie \(r^{-n+2}\), \[ r^2 = (x_1-\xi_1)^2 + (x_2-\xi_2)^2 +\cdots+ (x_n-\xi_n)^2, \] und die auf der Begrenzung von \(\mathfrak B\) verschwindet. Für \(n=2\) muss \(G\) im Punkte \(\xi_1\), \(\xi_2\) unendlich werden wie \(\log r\). Wie steht es aber für \(n=1\)? Die Analogie erfordert, dass \(G(x_1,\xi_1)\) in dem betrachteten Stücke der Geraden überall, auch für \(x=\xi_1\), endlich und stetig ist. Dasselbe gilt auch für die erste Ableitung, abgesehen von dem Punkte \(x=\xi_1\), wo sie zwei verschiedene Werte annimmt, die sich um den Betrag \(-1\) unterscheiden.

MSC:
34B27 Green’s functions for ordinary differential equations
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Full Text: DOI Numdam EuDML